Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera. En este caso se trata de un triángulo acutángulo.
Donde para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno -también llamado como ley de senos-
El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.
Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,
Entonces se cumple la relación:
[tex]\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}[/tex]
Representamos la situación en un triángulo acutángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que representa la altura del poste inclinado, el lado AC (b) que equivale a la longitud de la sombra que proyecta el poste inclinado sobre la línea del suelo del terreno nivelado y el lado AB (c) que es la línea visual hasta el extremo superior del poste, visto con un ángulo de elevación al sol de 64°
Denotamos al ángulo de elevación al sol dado por enunciado de 64° como α
[tex]\large\boxed {\bold { \alpha = 64^o }}[/tex]
Donde dado que el enunciado no dice otra cosa, consideramos que el poste tiene un ángulo de inclinación hacia el oriente de 9° respecto a la vertical
Luego sucede que el poste con tal inclinación se aleja 9° en el sentido de las agujas del reloj con respecto a la línea vertical hacia el sol, es decir se inclina hacia el plano del suelo
Por tanto:
Si el poste no se hubiese inclinado formaría un ángulo de 90° con el plano del suelo, en donde para este problema al inclinarse el poste en el sentido horario debemos restar la inclinación de 9° indicada por enunciado con respecto a la línea vertical de 90°
Teniendo:
[tex]\large\boxed {\bold { \gamma = 90^o - 9^o = 81^o }}[/tex]
Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°:
Planteamos:
[tex]\boxed {\bold { 180^o = 64^o+ 81^o + \beta }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \beta = 180^o - 64^o- 81^o }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { \beta = 35 ^o }}[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(\alpha ) } = \frac{b}{sen(\beta )} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{b}{sen(B )} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \frac{ a }{ sen(64^o ) } = \frac{ 21 \ pies }{sen(35 ^o) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { a = \frac{ 21 \ pies \cdot sen(64^o ) }{sen(35^o) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { a = \frac{ 21 \ pies \cdot 0.898794046299 }{0.573576436351 } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { a = \frac{ 18.874674972279 }{ 0.573576436351 } \ pies}}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { a\approx 32.906 \ pies }}[/tex]
[tex]\textsf{Redondeando }[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold { a \approx 32.90 \ pies }}[/tex]
Se adjunta gráfico a escala para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas
