contestada

Alberto solicita su sistema de agua potable de la red principal, se conoce que la ecuación general es : 6 + 8 − 80 = 0 L:6x+8y−80=0; además el punto de la casa es (3;2). Determine la distancia de la red al punto ubicado en la casa.

Respuesta :

arkyta

La distancia del punto P(3,2) -donde se encuentra la casa de Alberto- a la recta que representa la red de suministro de agua es de:

En forma exacta:

[tex]\large\boxed {\bold {d(P,r) = \frac{23 }{ 5 } \ unidades }}[/tex]

En forma decimal

[tex]\large\boxed {\bold {d(P,r) = 4.6 \ unidades }}[/tex]

Dado que Alberto solicita su sistema de agua potable de la red principal hasta su casa:

Siendo la red principal de suministro la recta de ecuación:

[tex]\large\boxed {\bold { 6x +8y -80 = 0 }}[/tex]

Y la casa de Alberto se encuentra en el punto:

[tex]\large\boxed {\bold { P(3,2) }}[/tex]

Donde se pide determinar:

La distancia de la red hasta el punto donde se encuentra la casa de Alberto

Resolvemos este problema mediante la distancia de un punto a una recta

Distancia de un punto a una recta

La distancia de un punto a una recta es la distancia más corta que existe desde ese punto a la recta

Por lo tanto se refiere a la longitud del segmento trazado desde el punto y que es perpendicular a la recta.

Calculamos la distancia del punto -donde se encuentra la casa de Alberto- a la recta -que representa la red de suministro de agua-

Empleando la fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta

La cual está dada por:

[tex]\large\boxed {\bold {d (P,r) = \left|\frac{A \ (x_{1}) + B \ ( y_{1} )+ C }{ \sqrt{A^{2}+B ^{2} } }\right | }}[/tex]

Donde la recta debe estar expresada en su forma general también llamada forma implícita

Siendo la forma general:

[tex]\large\boxed {\bold { Ax +By + C = 0 }}[/tex]

Siendo la ecuación de la recta -que representa la red principal de suministro-

[tex]\large\boxed {\bold { 6x +8y -80 = 0 }}[/tex]

La cual ya está expresada en la forma general

Siendo el punto - donde se encuentra la casa de Alberto

[tex]\large\boxed {\bold { P(3,2) = ( x_{1}, y_{1} ) }}[/tex]

Reemplazamos los valores de los coeficientes de la recta dada y de las coordenadas del punto en la fórmula anterior para hallar la distancia del punto a la recta

Nótese que en la fórmula se busca el valor absoluto, dado que es una medida de longitud y no existen longitudes negativas

Por lo tanto

[tex]\large\boxed {\bold {d (P, r) = \left|\frac{A \ (x_{1}) + B \ ( y_{1} )+ C }{ \sqrt{A^{2}+B ^{2} } }\right | }}[/tex]

La distancia estará expresada en unidades

[tex]\bold{d(P, r) = \overline{PQ}}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {d(P,r) = \left|\frac{(6)\cdot (3) + (8) \cdot ( 2 )+(-80) }{ \sqrt{6^{2}+ 8^{2} } }\right | }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {d(P,r) = \left|\frac{18+16-80}{ \sqrt{36+64 } }\right | }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {d (P,r) = \left|\frac{-46 }{ \sqrt{100} }\right | }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {d (P,r) = \left|\frac{-46 }{ 10 }\right | }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {d(P,r) = \frac{46}{ 10 } }}[/tex]

[tex]\textsf{Simplificando }[/tex]

[tex]\boxed {\bold {d(P,r) = \frac{\not 2\cdot 23}{ \not2\cdot5 } }}[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold {d(P,r) = \frac{23 }{ 5 } \ unidades = \ 4.6 \ unidades }}[/tex]

Luego la distancia del punto P(3,2) -donde se encuentra la casa de Alberto- hasta la recta que representa la red de suministro de agua es de:

En forma exacta:

[tex]\large\boxed {\bold {d(P,r) = \frac{23 }{ 5 } \ unidades }}[/tex]

En forma decimal:

[tex]\large\boxed {\bold {d(P,r) = 4.6 \ unidades }}[/tex]

Se agrega gráfico como archivo adjunto donde se comprueba el resultado obtenido

Ver imagen arkyta

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