Respuesta:
[ y - q = -\frac{1}{C}(x - p) ]
Explicación paso a paso:
Para demostrar que la ecuación de la normal a la parábola (y^2 = 4cx) en el punto ((p, q)) de la curva está dada por (y - q = -\frac{1}{C}(x - p)), sigamos estos pasos:
Encontrar la derivada de la ecuación de la parábola: La ecuación de la parábola (y^2 = 4cx) se puede expresar como (y = \pm \sqrt{4cx}). Tomemos la derivada de esta ecuación con respecto a (x): [ \frac{dy}{dx} = \pm \frac{1}{2\sqrt{c}} ]
Encontrar la pendiente de la tangente en el punto ((p, q)): La pendiente de la tangente en el punto ((p, q)) es igual a la derivada evaluada en ese punto: [ m = \frac{dy}{dx} \bigg|{(p, q)} = \pm \frac{1}{2\sqrt{c}} \bigg|{(p, q)} = \frac{1}{2\sqrt{cp}} ]
Encontrar la pendiente de la normal: La pendiente de la normal es el negativo recíproco de la pendiente de la tangente: [ m_{\text{normal}} = -\frac{1}{m} = -\frac{2\sqrt{cp}}{1} = -2\sqrt{cp} ]
Escribir la ecuación de la normal: La ecuación de la normal en el punto ((p, q)) es de la forma (y - q = m_{\text{normal}}(x - p)): [ y - q = -2\sqrt{cp}(x - p) ] Simplificando: [ y - q = -2\sqrt{cp}x + 2\sqrt{cp}p ] [ y = -2\sqrt{cp}x + q + 2\sqrt{cp}p ] [ y = -\frac{1}{C}x + q + \frac{2p}{\sqrt{c}} ]
Por lo tanto, la ecuación de la normal a la parábola (y^2 = 4cx) en el punto ((p, q)) está dada por:
[ y - q = -\frac{1}{C}(x - p) ]
