Respuesta:
Para resolver este problema, primero debemos analizar las tres barras y sus propiedades. Luego, aplicaremos la ley de Fourier para determinar la temperatura en la unión.
1. **Propiedades de las barras**:
- Tenemos tres barras con secciones transversales rectangulares.
- Las barras están soldadas extremo con extremo, lo que significa que están en contacto térmico directo.
- Las barras están perfectamente aisladas por sus costados, lo que implica que no hay transferencia de calor lateral.
2. **Notación**:
- \(k_1\): Conductividad térmica de la primera barra (con sección completa).
- \(k_2\): Conductividad térmica de las otras dos barras (con sección reducida).
- \(A_1\): Área de sección transversal de la primera barra.
- \(A_2\): Área de sección transversal de las otras dos barras (la mitad de \(A_1\)).
- \(T_1\): Temperatura en la unión de las barras (que queremos encontrar).
- \(T_2\): Temperatura de la barra con conductividad \(k_2\) (90 °C).
- \(T_3\): Temperatura de la barra con conductividad \(k_a\) (10 °C).
3. **Ley de Fourier**:
La transferencia de calor a través de una barra se rige por la ley de Fourier:
\[ Q = \frac{kA\Delta T}{L} \]
donde:
- \(Q\) es la cantidad de calor transferido.
- \(k\) es la conductividad térmica.
- \(A\) es el área de sección transversal.
- \(\Delta T\) es la diferencia de temperatura.
- \(L\) es la longitud de la barra.
4. **Análisis**:
- La barra con conductividad \(k_1\) tiene una longitud igual a la suma de las longitudes de las otras dos barras.
- La longitud total de las tres barras es la misma.
5. **Ecuación de calor**:
La cantidad de calor transferido a través de las tres barras debe ser igual:
\[ Q_1 + Q_2 + Q_3 = 0 \]
\[ k_1A_1\frac{T_1 - T_2}{L} + k_2A_2\frac{T_1 - T_3}{L} + k_aA_2\frac{T_1 - T_3}{L} = 0 \]
6. **Simplificación**:
- Dado que \(A_2 = \frac{1}{2}A_1\), podemos simplificar la ecuación:
\[ k_1(T_1 - T_2) + k_2(T_1 - T_3) + k_a(T_1 - T_3) = 0 \]
\[ (k_1 + k_2 + k_a)T_1 - (k_1 + k_2 + 2k_a)T_3 = k_1T_2 \]
7. **Resolución**:
- Despejamos \(T_1\):
\[ T_1 = \frac{k_1T_2}{k_1 + k_2 + k_a} + \frac{(k_1 + k_2 + 2k_a)T_3}{k_1 + k_2 + k_a} \]
8. **Sustitución de valores**:
- Dado que \(k_2 = k_a\), tenemos:
\[ T_1 = \frac{k_1T_2}{2k_1 + 2k_a} + \frac{3k_aT_3}{2k_1 + 2k_a} \]
- Sustituimos los valores conocidos:
- \(k_1 = k_2 = k_a\)
- \(T_2 = 90 °C\)
- \(T_3 = 10 °C\)
- Calculamos:
\[ T_1 = \frac{90}{3} + \frac{30}{3} = 60 °C \]
Por lo tanto, la temperatura en la unión de las barras es de **60 °C**. ¹²³. ¡Espero que esta respuesta te haya sido útil!
Coronita plis porfis
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