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Explicación paso a paso:
## Aplicaciones de las integrales: Precio promedio de pastillas para freno
**Problema:**
Un distribuidor de repuestos para autos encontró que la demanda de pastillas para freno de disco está dada por la función **P(q) = 9 + 1/(1+q^2)**, donde P representa el precio de las pastillas para freno y q corresponde al número de pastillas para freno demandadas. Se desea calcular el precio promedio si se demandan entre 60 y 200 pastillas para freno.
**Solución:**
Para calcular el precio promedio, primero debemos determinar la **demanda total** en el intervalo de 60 a 200 unidades. Luego, dividimos la demanda total por el número de unidades demandadas (200 - 60 = 140).
**Demanda total:**
La demanda total se calcula como la **integral definida** de la función de demanda entre los límites de 60 y 200:
```
Demanda total = ∫(9 + 1/(1+q^2)) dq [60, 200]
```
**Cálculo de la integral:**
La integral se puede calcular utilizando técnicas de integración de funciones racionales y trigonométricas. El resultado es:
```
Demanda total = 18q - arctan(q) |[60, 200]
```
**Evaluación de la integral:**
Evaluamos la integral en los límites de 60 y 200:
```
Demanda total = (18(200) - arctan(200)) - (18(60) - arctan(60))
```
**Simplificando:**
```
Demanda total ≈ 2902.38
```
**Precio promedio:**
Dividimos la demanda total por el número de unidades demandadas para obtener el precio promedio:
```
Precio promedio = Demanda total / (200 - 60)
```
**Sustituyendo los valores:**
```
Precio promedio ≈ 2902.38 / 140
```
**Simplificando:**
```
Precio promedio ≈ 20.73
```
**Conclusión:**
El precio promedio de las pastillas para freno si se demandan entre 60 y 200 unidades es de aproximadamente **20.73**.
**Explicación adicional:**
* La integral definida representa la suma de infinitos valores infinitesimales de la función de demanda en el intervalo especificado.
* El cálculo de la integral involucra técnicas matemáticas específicas para funciones racionales y trigonométricas.
* El precio promedio se obtiene dividiendo la demanda total por el número de unidades demandadas.