Respuesta:
Vamos a abordar cada pregunta paso a paso:
a) Para encontrar la posición y velocidad del proyectil después de dos segundos, primero necesitamos descomponer la velocidad inicial en sus componentes horizontal y vertical. La componente horizontal \( V_{x} \) es \( V_{0} \cdot cos(\theta) \), y la componente vertical \( V_{y} \) es \( V_{0} \cdot sin(\theta) \), donde \( V_{0} \) es la velocidad inicial y \( \theta \) es el ángulo de inclinación.
\( V_{0} = 200 m/s \)
\( \theta = 60° \)
\( V_{x} = 200 m/s \cdot cos(60°) \)
\( V_{x} = 200 m/s \cdot 0.5 \)
\( V_{x} = 100 m/s \)
\( V_{y} = 200 m/s \cdot sin(60°) \)
\( V_{y} = 200 m/s \cdot \sqrt{3}/2 \)
\( V_{y} = 100\sqrt{3} m/s \)
Para encontrar la posición después de dos segundos, usamos las ecuaciones de movimiento:
\( x = x_{0} + V_{x} \cdot t \)
\( y = y_{0} + V_{y} \cdot t - \frac{1}{2} g t^{2} \)
Donde \( x_{0} \) y \( y_{0} \) son las posiciones iniciales, \( t \) es el tiempo, y \( g \) es la aceleración debido a la gravedad.
En \( t = 2 \) segundos:
\( x = 0 + 100 m/s \cdot 2 \)
\( x = 200 m \)
\( y = 500 + 100\sqrt{3} m/s \cdot 2 - \frac{1}{2} \cdot 9.8 m/s^{2} \cdot (2)^{2} \)
\( y = 500 + 200\sqrt{3} - 19.6 \cdot 4 \)
\( y = 500 + 200\sqrt{3} - 78.4 \)
\( y = 500 + 200\sqrt{3} - 78.4 \)
\( y ≈ 912.8 m \)
Entonces, la posición después de dos segundos es aproximadamente \( (200 m, 912.8 m) \).
Para encontrar la velocidad, necesitamos calcular las componentes horizontal y vertical de la velocidad en \( t = 2 \) segundos. La componente vertical se reduce debido a la gravedad, mientras que la componente horizontal permanece constante:
\( V_{x} = 100 m/s \)
\( V_{y} = 100\sqrt{3} m/s - 9.8 m/s^{2} \cdot 2 \)
\( V_{y} = 100\sqrt{3} m/s - 19.6 m/s \)
\( V_{y} ≈ 100\sqrt{3} m/s - 19.6 m/s \)
\( V_{y} ≈ 100\sqrt{3} m/s - 19.6 m/s \)
\( V_{y} ≈ 60.8 m/s \)
Entonces, la velocidad después de dos segundos es aproximadamente \( (100 m/s, 60.8 m/s) \).
b) El tiempo de vuelo es el tiempo que tarda el proyectil en regresar al suelo. Utilizamos la ecuación de movimiento \( y = y_{0} + V_{y} \cdot t - \frac{1}{2} g t^{2} \), y sabemos que en el punto más alto \( V_{y} = 0 \), entonces:
\( 0 = 500 + 100\sqrt{3} m/s \cdot t - \frac{1}{2} \cdot 9.8 m/s^{2} \cdot t^{2} \)
Esto se convierte en una ecuación cuadrática que podemos resolver para \( t \), el tiempo de vuelo.
c) Para encontrar la distancia en línea recta entre el cañón y el enemigo, usamos la fórmula de distancia entre dos puntos en un plano, que es la longitud del vector que une los dos puntos:
\( D = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}} \)
Donde \( (x_{1}, y_{1}) \) son las coordenadas del cañón y \( (x_{2}, y_{2}) \) son las coordenadas del objetivo enemigo.
d) La velocidad con la que caen los proyectiles y el ángulo con el que lo hacen se puede encontrar considerando que la velocidad vertical al tocar el suelo será la misma que la velocidad vertical inicial pero con signo negativo. Luego, el ángulo con el que caen se puede calcular usando la tangente del ángulo.
