Respuesta:
Para determinar las dimensiones de la caja rectangular menos costosa con un volumen de 1000 cm^3, podemos proceder de la siguiente manera:
1. Definir las dimensiones:
Llamemos a la longitud L, el ancho W y la altura H de la caja.
2. Establecer una ecuación para el volumen:
Sabemos que el volumen V de la caja está dado por V = L * W * H, y en este caso se nos da que el volumen es 1000 cm^3.
3. Relacionar las dimensiones:
Se nos indica que el largo es tres veces el ancho, es decir, L = 3W.
4. Determinar las dimensiones menos costosas:
Para minimizar el costo de la caja, debemos encontrar las dimensiones que minimicen el costo total de los materiales para la caja.
Una vez que tengamos las dimensiones de la caja, podremos calcular el costo total teniendo en cuenta los costos por cm^2 de los diferentes materiales para cada una de las caras.
Si necesitas ayuda con los cálculos específicos o alguna otra aclaración relacionada con este problema, estaré encantada de ayudarte.
Respuesta:
Para encontrar las dimensiones de la caja, vamos a llamar al ancho de la caja como x. Dado que el largo de la caja es tres veces el ancho, entonces el largo será 3x.
La fórmula del volumen de un prisma rectangular es V = Largo x Ancho x Alto. En este caso, el volumen es de 1000 cm^3, por lo tanto:
V = 1000 cm^3
V = 3x * x * h
1000 = 3x^2 * h
También sabemos que el área total de la caja será igual a la suma de las áreas de la base, los lados y la parte superior. La fórmula del área de un rectángulo es A = Largo x Ancho, entonces:
Área total = (2*3x*x) + (2*3x*h) + (2*x*h)
Área total = 6x^2 + 6xh + 2xh
La empresa quiere minimizar el costo de la caja, por lo tanto necesitamos encontrar la función de costo C en términos de x y h. Dado que el costo de cada parte depende de sus áreas:
C = (0.7 * 3x^2) + (0.5 * 6xh) + (0.2 * 2xh)
C = 2.1x^2 + 3xh + 0.4xh
Sustituyendo la fórmula del volumen en el área total, podemos despejar h en términos de x:
1000 = 3x^2 * h
h = 1000 / 3x^2
h = 333.33 / x^2
Sustituyendo h en la función de costo:
C = 2.1x^2 + 3x(333.33 / x^2) + 0.4(333.33 / x)
Simplificando:
C = 2.1x^2 + 999.99 / x + 133.33 / x
C = 2.1x^2 + 1133.32 / x
Para minimizar el costo, vamos a derivar la función de costo e igualarla a 0:
dC/dx = 4.2x - 1133.32 / x^2 = 0
Multiplicando ambos lados por x^2:
4.2x^3 - 1133.32 = 0
4.2x^3 = 1133.32
x = 9.91 cm
Por lo tanto, el ancho de la caja es de 9.91 cm y el largo es de 29.73 cm.
