Respuesta :
Respuesta:
las dimensiones del patio son aproximadamente \( 80 \, m \) y \( 30 \, m \), y la hipotenusa es aproximadamente \( 85.44 \, m \).
Explicación paso a paso:
Para resolver este problema, podemos utilizar el teorema de Pitágoras para encontrar las dimensiones del triángulo rectángulo. Denotemos las dimensiones del triángulo como \( a \), \( b \), y \( c \), donde \( c \) es la hipotenusa.
Sabemos que el área del triángulo es \( 1,200 \, m^2 \). Entonces, \( \frac{1}{2} \times a \times b = 1,200 \), lo que implica que \( a \times b = 2,400 \) (1).
También se nos dice que la suma de los dos lados más pequeños (los catetos) es \( 110 \) metros. Entonces, \( a + b = 110 \) (2).
Además, podemos usar el teorema de Pitágoras: \( a^2 + b^2 = c^2 \) (3).
Ahora, tenemos un sistema de tres ecuaciones (1), (2), y (3). Podemos resolverlo para encontrar las dimensiones del patio.
Resolvamos el sistema de ecuaciones:
1. De (2), despejamos una de las variables (por ejemplo, \( a \)) en términos de la otra variable (\( b \)):
\[ a = 110 - b \]
2. Sustituimos \( a \) en (1):
\[ (110 - b) \times b = 2,400 \]
\[ 110b - b^2 = 2,400 \]
\[ b^2 - 110b + 2,400 = 0 \]
3. Resolvemos esta ecuación cuadrática para \( b \) usando la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas:
\[ b = \frac{-(-110) \pm \sqrt{(-110)^2 - 4 \times 1 \times 2,400}}{2 \times 1} \]
\[ b = \frac{110 \pm \sqrt{12100 - 9600}}{2} \]
\[ b = \frac{110 \pm \sqrt{2500}}{2} \]
\[ b = \frac{110 \pm 50}{2} \]
Entonces, \( b = \frac{110 + 50}{2} = 80 \) o \( b = \frac{110 - 50}{2} = 30 \).
4. Si \( b = 80 \), entonces \( a = 110 - 80 = 30 \).
Si \( b = 30 \), entonces \( a = 110 - 30 = 80 \).
Ahora, verificamos con (3):
- Para \( b = 80 \), \( a = 30 \):
\[ 80^2 + 30^2 = c^2 \]
\[ 6,400 + 900 = c^2 \]
\[ 7,300 = c^2 \]
\[ c = \sqrt{7,300} \]
\[ c ≈ 85.44 \, m \]
- Para \( b = 30 \), \( a = 80 \):
\[ 30^2 + 80^2 = c^2 \]
\[ 900 + 6,400 = c^2 \]
\[ 7,300 = c^2 \]
\[ c = \sqrt{7,300} \]
\[ c ≈ 85.44 \, m \]
Por lo tanto, las dimensiones del patio son aproximadamente \( 80 \, m \) y \( 30 \, m \), y la hipotenusa es aproximadamente \( 85.44 \, m \).
Para resolver este problema, primero recordemos que el área de un triángulo rectángulo es igual a la mitad del producto de sus dos catetos. Entonces, si llamamos a los catetos \(a\) y \(b\), y al área \(A\), tenemos la siguiente ecuación:
\[ A = \frac{1}{2} \times a \times b \]
Dado que se nos dice que el área del patio es de \(1200 \, m^2\), podemos escribir:
\[ 1200 = \frac{1}{2} \times a \times b \]
También se nos dice que la suma de los dos lados más cortos (catetos) es de 110 metros:
\[ a + b = 110 \]
Ahora, podemos resolver este sistema de ecuaciones para encontrar los valores de \(a\) y \(b\). Podemos despejar una variable en términos de la otra y sustituirlo en la otra ecuación, o podemos usar métodos de sustitución o eliminación.
Aquí, despejaremos \(a\) de la segunda ecuación y lo sustituiremos en la primera:
\[ a = 110 - b \]
Sustituimos este valor de \(a\) en la primera ecuación:
\[ 1200 = \frac{1}{2} \times (110 - b) \times b \]
Resolvemos esta ecuación para \(b\):
\[ 2400 = (110 - b) \times b \]
\[ 2400 = 110b - b^2 \]
Esto se convierte en una ecuación cuadrática. Reorganizamos para obtener:
\[ b^2 - 110b + 2400 = 0 \]
Ahora, resolvemos esta ecuación cuadrática utilizando la fórmula cuadrática:
\[ b = \frac{-(-110) \pm \sqrt{(-110)^2 - 4 \times 1 \times 2400}}{2 \times 1} \]
\[ b = \frac{110 \pm \sqrt{12100 - 9600}}{2} \]
\[ b = \frac{110 \pm \sqrt{2500}}{2} \]
\[ b = \frac{110 \pm 50}{2} \]
Entonces, obtenemos dos posibles valores de \(b\):
\[ b_1 = \frac{110 + 50}{2} = \frac{160}{2} = 80 \]
\[ b_2 = \frac{110 - 50}{2} = \frac{60}{2} = 30 \]
Para cada valor de \(b\), podemos encontrar el valor correspondiente de \(a\) utilizando la ecuación \(a = 110 - b\):
Cuando \(b = 80\):
\[ a = 110 - 80 = 30 \]
Cuando \(b = 30\):
\[ a = 110 - 30 = 80 \]
Por lo tanto, las dimensiones del patio son \(30 \, m\) por \(80 \, m\) o \(80 \, m\) por \(30 \, m\).