Respuesta:
Para que la recta
3
+
2
+
=
0
3x+2y+k=0 sea tangente a la circunferencia
2
+
2
−
4
+
6
+
8
=
0
x
2
+y
2
−4x+6y+8=0, los puntos de tangencia deben cumplir dos condiciones:
La distancia entre el centro de la circunferencia y la recta debe ser igual al radio de la circunferencia.
La recta debe ser perpendicular al radio que une el centro de la circunferencia con el punto de tangencia.
Primero, escribamos la ecuación de la circunferencia en la forma general:
2
−
4
+
2
+
6
+
8
=
0
x
2
−4x+y
2
+6y+8=0
2
−
4
+
4
+
2
+
6
+
9
=
4
+
9
−
8
x
2
−4x+4+y
2
+6y+9=4+9−8
(
−
2
)
2
+
(
+
3
)
2
=
5
(x−2)
2
+(y+3)
2
=5
Entonces, el centro de la circunferencia es
(
2
,
−
3
)
C(2,−3) y el radio
=
5
r=
5
.
La ecuación de la recta en la forma general es
+
+
=
0
ax+by+c=0, donde
=
3
a=3,
=
2
b=2, y
=
c=k.
La distancia entre un punto
(
0
,
0
)
P(x
0
,y
0
) y la recta
+
+
=
0
ax+by+c=0 se calcula mediante la fórmula:
=
∣
0
+
0
+
∣
2
+
2
d=
a
2
+b
2
∣ax
0
+by
0
+c∣
Para que la recta sea tangente a la circunferencia, la distancia entre el centro de la circunferencia y la recta debe ser igual al radio de la circunferencia:
=
∣
3
⋅
2
+
2
⋅
(
−
3
)
+
∣
3
2
+
2
2
=
5
d=
3
2
+2
2
∣3⋅2+2⋅(−3)+k∣
=
5
=
∣
6
−
6
+
∣
13
=
5
d=
13
∣6−6+k∣
=
5
∣
∣
=
5
⋅
13
=
65
∣k∣=
5
⋅
13
=
65
Entonces,
=
±
65
k=±
65
.
Por lo tanto, los valores de
k para que la recta sea tangente a la circunferencia son
=
±
65
k=±
65
.
