Respuesta:
Para calcular la función h(x) = (g o f)(x), primero necesitamos encontrar g(f(x)) y luego determinar su dominio y recorrido.
1. Encontrar g(f(x)):
Primero, encontramos f(x): f(x) = √x - 1
Luego, evaluamos g en f(x): g(f(x)) = 2 + 2(√x - 1) - 3(√x - 1)^2
2. Simplificamos g(f(x)):
g(f(x)) = 2 + 2√x - 2 - 3(x - 2√x + 1)
= 2 + 2√x - 2 - 3x + 6√x - 3
= -3x + 8√x - 3
Entonces, la función h(x) = (g o f)(x) es h(x) = -3x + 8√x - 3.
Para determinar el dominio de h(x), debemos considerar que la raíz cuadrada (√x) y la variable x no pueden ser negativas, ya que no estarían definidas en el conjunto de los números reales. Entonces, el dominio de h(x) es el conjunto de todos los números reales x tales que x ≥ 0.
Para determinar el recorrido de h(x), observamos que la función incluye una raíz cuadrada y un término lineal, lo que significa que para cualquier valor de x en el dominio, h(x) producirá un valor real. Por lo tanto, el recorrido de h(x) es el conjunto de todos los números reales y ≥ -3.
