Respuesta:La derivada de la función \( y = (\tan(x))^{\frac{1}{x}} \) puede encontrarse utilizando la regla del logaritmo y la regla de la cadena. La respuesta es:
\[ y' = (\tan(x))^{\frac{1}{x}} \left( \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \ln(\tan(x)) \right) \right) \]
El procedimiento para obtener esta derivada implica varias etapas:
1. Utilizando la regla del logaritmo, expresamos \( (\tan(x))^{\frac{1}{x}} \) como \( e^{\frac{1}{x} \ln(\tan(x))} \).
2. Luego, aplicamos la regla de la cadena para derivar \( e^{\frac{1}{x} \ln(\tan(x))} \). La derivada de \( e^u \) con respecto a \( x \) es \( u'e^u \), donde \( u = \frac{1}{x} \ln(\tan(x)) \).
3. Calculamos la derivada de \( \frac{1}{x} \ln(\tan(x)) \) utilizando la regla del producto y la regla de la cadena.
el resultado es: \[ y' = (\tan(x))^{\frac{1}{x}} \left( \frac{\tan(x)}{x^2} - \frac{\ln(\tan(x))}{x^2} \right) \]
