Respuesta:
Para factorizar la expresión \(2m^2 - 5n + 2n^2\) utilizando la fórmula general, primero identificaremos los términos cuadráticos, los términos lineales y las constantes.
La expresión se puede ver como \(am^2 + bm + c\), donde \(a = 2\), \(b = -5\) y \(c = 2\).
La fórmula general para factorizar una expresión cuadrática de la forma \(am^2 + bm + c\) es \(m = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\).
Vamos a calcular el discriminante, \(b^2 - 4ac\):
\[b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9\]
Como el discriminante es positivo (9), podemos continuar con la factorización utilizando la fórmula general.
Los factores se obtienen de la siguiente manera:
\[m_1 = \frac{{-b + \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}} = \frac{{5 + \sqrt{9}}}{{4}} = \frac{{5 + 3}}{{4}} = 2\]
\[m_2 = \frac{{-b - \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}} = \frac{{5 - \sqrt{9}}}{{4}} = \frac{{5 - 3}}{{4}} = \frac{1}{2}\]
Ahora, escribimos la factorización:
\[2m^2 - 5n + 2n^2 = 2(m - 2)(m - \frac{1}{2})\]
- El primer término es \( 2m^2 \), que es un cuadrado perfecto.
- El segundo término es \( -5n \), que es un término lineal en \( n \).
- El tercer término es \( 2n^2 \), que es un cuadrado perfecto.
Ahora, apliquemos la fórmula general para factorizar una expresión cuadrática de la forma \( am^2 + bm + c \):
\[ am^2 + bm + c = (rm + s)(tm + u) \]
Donde \( r, s, t, u \) son constantes que satisfacen las siguientes condiciones:
\[ rt = a \]
\[ ru + st = b \]
\[ su = c \]
En nuestro caso, la expresión es \( 2m^2 - 5n + 2n^2 \), por lo que \( a = 2 \), \( b = -5 \), y \( c = 2 \).
Calculando los valores \( r, s, t, u \):
\[ rt = 2 \]
\[ su = 2 \]
\[ ru + st = -5 \]
Podemos probar con diferentes valores para resolver estas ecuaciones. Una posible solución es \( r = 1, s = 2, t = 2, u = 1 \), ya que cumplen las condiciones:
\[ rt = 1 \cdot 2 = 2 \]
\[ su = 2 \cdot 1 = 2 \]
\[ ru + st = (1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) = 1 + 4 = 5 \]
Entonces, factorizando \( 2m^2 - 5n + 2n^2 \) con estos valores, obtenemos:
\[ (m + 2n)(m + n) \]
