Respuesta :
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Para encontrar la velocidad y la celeridad del tercer fragmento, primero necesitamos encontrar el vector velocidad del tercer fragmento y luego calcular su magnitud.
Dado que la explosión no genera una fuerza externa horizontal o vertical, podemos utilizar la conservación del momento lineal para encontrar la velocidad del tercer fragmento.
La conservación del momento lineal establece que la suma de los momentos lineales iniciales es igual a la suma de los momentos lineales finales:
\[ m_1v_1 + m_2v_2 = m_3v_3 \]
Donde:
\( m_1 = 0.7 \) kg (masa del primer fragmento)
\( v_1 = 20 \) m/s hacia arriba (velocidad del primer fragmento)
\( m_2 = 0.9 \) kg (masa del segundo fragmento)
\( v_2 = 15 \) m/s hacia la derecha (velocidad del segundo fragmento)
\( m_3 = \) masa del tercer fragmento
\( v_3 = \) velocidad del tercer fragmento
Podemos resolver para \( v_3 \):
\[ v_3 = \frac{{m_1v_1 + m_2v_2}}{{m_3}} \]
\[ v_3 = \frac{{(0.7 \, \text{kg})(20 \, \text{m/s}) + (0.9 \, \text{kg})(15 \, \text{m/s})}}{{m_3}} \]
\[ v_3 = \frac{{14 \, \text{kg m/s} + 13.5 \, \text{kg m/s}}}{{m_3}} \]
\[ v_3 = \frac{{27.5 \, \text{kg m/s}}}{{m_3}} \]
Ahora, para encontrar la magnitud de la velocidad del tercer fragmento (celeridad), usamos la relación \( \text{celeridad} = |\vec{v_3}| \). Pero primero necesitamos encontrar la masa del tercer fragmento.
Dado que la masa total inicial es de 2 kg y los fragmentos son el 0.7 kg y el 0.9 kg, podemos restar estas masas de la masa total para encontrar la masa del tercer fragmento:
\[ 2 \, \text{kg} - (0.7 \, \text{kg} + 0.9 \, \text{kg}) = 0.4 \, \text{kg} \]
Entonces, la masa del tercer fragmento es de 0.4 kg. Ahora podemos calcular la magnitud de la velocidad del tercer fragmento:
\[ \text{celeridad} = |v_3| = \frac{{27.5 \, \text{kg m/s}}}{{0.4 \, \text{kg}}} \]
\[ \text{celeridad} = 68.75 \, \text{m/s} \]
Para encontrar el ángulo que forma con la horizontal, podemos utilizar las componentes horizontal y vertical de la velocidad del tercer fragmento:
\[ \text{Horizontal:} \ v_{3x} = 15 \, \text{m/s} \]
\[ \text{Vertical:} \ v_{3y} = 20 \, \text{m/s} \]
El ángulo \( \theta \) se puede encontrar usando la tangente inversa:
\[ \theta = \arctan{\left(\frac{{v_{3y}}}{{v_{3x}}}\right)} \]
\[ \theta = \arctan{\left(\frac{{20 \, \text{m/s}}}{{15 \, \text{m/s}}}\right)} \]
\[ \theta \approx \arctan{\left(\frac{4}{3}\right)} \]
\[ \theta \approx 53.13^\circ \]
Entonces, el vector velocidad del tercer fragmento tiene una magnitud de 68.75 m/s y forma un ángulo de aproximadamente 53.13 grados con la horizontal.