Respuesta:
Explicación paso a paso:
Para maximizar el volumen de la caja sin tapa, debemos encontrar las dimensiones adecuadas para los cuadrados que se recortarán en cada esquina de la pieza de cartón.
Dado que cada cuadrado se corta de las esquinas, esto reduce el largo y el ancho de la pieza de cartón en el doble del tamaño del cuadrado. Si llamamos a la longitud del lado del cuadrado recortado
x, entonces el largo y el ancho de la caja serán
24
−
2
24−2x (ya que se corta un cuadrado en cada esquina).
El volumen de la caja sin tapa es el producto del largo, el ancho y la altura. Como la caja no tiene tapa, la altura será igual al tamaño del cuadrado recortado, es decir,
x.
Por lo tanto, el volumen
V de la caja en función de
x es:
(
)
=
(
24
−
2
)
(
24
−
2
)
(
)
V(x)=(24−2x)(24−2x)(x)
Para maximizar
(
)
V(x), necesitamos encontrar el valor de
x que maximiza esta función. Podemos hacer esto encontrando el valor crítico de
(
)
V(x) y luego evaluando
(
)
V(x) en ese punto.
Primero, expandimos
(
)
V(x) y simplificamos:
(
)
=
(
24
−
2
)
(
24
−
2
)
(
)
V(x)=(24−2x)(24−2x)(x)
=
(
24
−
2
)
2
(
)
=(24−2x)
2
(x)
=
(
576
−
96
+
4
2
)
(
)
=(576−96x+4x
2
)(x)
=
576
−
96
2
+
4
3
=576x−96x
2
+4x
3
Ahora, derivamos
(
)
V(x) con respecto a
x para encontrar su valor crítico:
′
(
)
=
576
−
192
+
12
2
V
′
(x)=576−192x+12x
2
Luego, igualamos
′
(
)
V
′
(x) a cero y resolvemos para
x:
576
−
192
+
12
2
=
0
576−192x+12x
2
=0
12
2
−
192
+
576
=
0
12x
2
−192x+576=0
2
−
16
+
48
=
0
x
2
−16x+48=0
Esta ecuación cuadrática no se factoriza fácilmente, así que podemos usar la fórmula cuadrática para encontrar las soluciones:
=
−
±
2
−
4
2
x=
2a
−b±
b
2
−4ac
Donde
=
1
a=1,
=
−
16
b=−16, y
=
48
c=48. Sustituyendo estos valores:
=
−
(
−
16
)
±
(
−
16
)
2
−
4
(
1
)
(
48
)
2
(
1
)
x=
2(1)
−(−16)±
(−16)
2
−4(1)(48)
=
16
±
256
−
192
2
x=
2
16±
256−192
=
16
±
64
2
x=
2
16±
64
=
16
±
8
2
x=
2
16±8
Entonces, las soluciones son
1
=
12
x
1
=12 y
2
=
4
x
2
=4.
Sin embargo,
=
12
x=12 no es una solución válida porque significaría que no quedaría cartón para formar la caja. Entonces,
=
4
x=4 es la única solución válida.
Por lo tanto, cada cuadrado que se recorta debe tener dimensiones de
4
cm
4cm por
4
cm
4cm.
