La función cuadrática dada es:
f(x)=−2x2+4x+1
Para analizar esta función, veamos algunas de sus propiedades:
Coeficientes:
El coeficiente cuadrático (a) es -2.
El coeficiente lineal (b) es 4.
El término constante © es 1.
Vértice:
El vértice de la parábola se encuentra en el punto ((h, k)), donde:
(h = -\frac{b}{2a})
(k = f(h))
Calculando:
[ h = -\frac{4}{2(-2)} = 1 ]
[ k = f(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 1 = 3 ]
Por lo tanto, el vértice es ((1, 3)).
Dirección de apertura:
Dado que el coeficiente cuadrático es negativo ((a = -2)), la parábola se abre hacia abajo.
Eje de simetría:
El eje de simetría es la línea vertical que pasa por el vértice.
En este caso, el eje de simetría es (x = 1).
Foco y directriz:
Para encontrar el foco y la directriz, necesitamos la distancia focal ((p)):
[ p = \frac{1}{4a} = \frac{1}{4(-2)} = -\frac{1}{8} ]
El foco está a una distancia (p) por encima del vértice:
Coordenadas del foco: ((1, 3 - \frac{1}{8}) = (1, \frac{23}{8})).
La directriz está a una distancia (p) por debajo del vértice:
Ecuación de la directriz: (y = 3 + \frac{1}{8} = \frac{25}{8}).
En resumen:
Función cuadrática: (f(x) = -2x^2 + 4x + 1)
Vértice: ((1, 3))
Dirección de apertura: Abre hacia abajo
Eje de simetría: (x = 1)
Foco: ((1, \frac{23}{8}))
Directriz: (y = \frac{25}{8})
¡Espero que esta información te sea útil!
