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Realice la descomposición en fracciones parciales de la siguiente función racional:
9x2 − 3x + 8
x3 + 2x
Para descomponer en fracciones parciales, primero factorizamos el denominador. El denominador
3
+
2
x
3
+2x se puede factorizar como
(
2
+
2
)
x(x
2
+2). Ahora, la descomposición en fracciones parciales se ve así:
9
2
−
3
+
8
(
2
+
2
)
=
+
+
2
+
2
x(x
2
+2)
9x
2
−3x+8
=
x
A
+
x
2
+2
Bx+C
Para encontrar
,
A,B, y
C, multiplicamos ambos lados por el denominador común
(
2
+
2
)
x(x
2
+2) y resolvemos para
,
A,B, y
C.
9
2
−
3
+
8
=
(
2
+
2
)
+
(
+
)
9x
2
−3x+8=A(x
2
+2)+(Bx+C)x
9
2
−
3
+
8
=
2
+
2
+
2
+
9x
2
−3x+8=Ax
2
+2A+Bx
2
+Cx
9
2
−
3
+
8
=
(
+
)
2
+
+
2
9x
2
−3x+8=(A+B)x
2
+Cx+2A
Comparando coeficientes, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
{
+
=
9
=
−
3
2
=
8
⎩
⎨
⎧
A+B=9
C=−3
2A=8
Resolviendo este sistema, encontramos
=
4
A=4,
=
5
B=5, y
=
−
3
C=−3.
Por lo tanto, la descomposición en fracciones parciales de la función es:
4
+
5
−
3
2
+
2
x
4
+
x
2
+2
5x−3
