¡Claro! Vamos a resolver ambas partes del problema:
a) Para derivar la función [tex]\( y = 5x + e^{2x} \)[/tex], utilizaremos las reglas de derivación. La derivada de [tex]\( 5x \)[/tex] es simplemente [tex]\( 5 \)[/tex], ya que la derivada de una constante por una variable es la constante misma. La derivada de [tex]\( e^{2x} \)[/tex] es [tex]\( 2e^{2x} \)[/tex] por la regla de la cadena (derivada de una función compuesta). Por lo tanto, la derivada de [tex]\( y \)[/tex] es:
[tex]\[ \frac{dy}{dx} = 5 + 2e^{2x} \][/tex]
b) Para calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función para [tex]\( x = 0 \)[/tex], sustituimos [tex]\( x = 0 \)[/tex] en la derivada que obtuvimos en el paso anterior:
[tex]\[ \frac{dy}{dx} = 5 + 2e^{2(0)} \][/tex]
[tex]\[ \frac{dy}{dx} = 5 + 2e^0 \][/tex]
[tex]\[ \frac{dy}{dx} = 5 + 2 \][/tex]
Entonces, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función para [tex]\( x = 0 \)[/tex] es [tex]\( 5 + 2 = 7 \)[/tex].
