Respuesta :
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Explicación paso a paso:
Para determinar si el jugador puede salvar el golpe, necesitamos encontrar si la pelota pasará por encima de la red, que está a 1 metro de altura, antes de que la pelota llegue a la línea de fondo, que está a 24 metros de distancia desde el borde de la pista.
Dada la ecuación de la trayectoria de la pelota:
=
−
2
+
24
−
23
y=−x
2
+24x−23, donde
x es la distancia en metros desde el borde de la pista y
y es la altura en centímetros.
Primero, necesitamos convertir la altura de la red y la distancia de la línea de fondo a la misma unidad que la ecuación (centímetros). Entonces, la altura de la red sería 100 cm y la distancia de la línea de fondo sería
24
×
100
=
2400
24×100=2400 cm.
Ahora, sustituimos
=
100
y=100 en la ecuación para encontrar la posición
x donde la altura de la pelota es igual a la altura de la red:
100
=
−
2
+
24
−
23
100=−x
2
+24x−23
Esto nos dará una ecuación cuadrática. Resolviéndola, encontraremos los valores de
x para los cuales la pelota pasa sobre la red.
2
−
24
+
123
=
0
x
2
−24x+123=0
Usando la fórmula cuadrática:
=
−
±
2
−
4
2
x=
2a
−b±
b
2
−4ac
Donde
=
1
a=1,
=
−
24
b=−24, y
=
123
c=123. Sustituyendo estos valores:
=
−
(
−
24
)
±
(
−
24
)
2
−
4
×
1
×
123
2
×
1
x=
2×1
−(−24)±
(−24)
2
−4×1×123
=
24
±
576
−
492
2
x=
2
24±
576−492
=
24
±
84
2
x=
2
24±
84
=
24
±
2
21
2
x=
2
24±2
21
=
12
±
21
x=12±
21
Entonces, las soluciones son
=
12
+
21
x=12+
21
y
=
12
−
21
x=12−
21
. Dado que la pista mide 24 metros, el jugador podrá salvar el golpe si la pelota pasa por encima de la red antes de llegar a la línea de fondo, es decir, si
x está en el rango de
0
≤
≤
24
0≤x≤24.
Vamos a calcular las soluciones para confirmar si la pelota pasa por encima de la red antes de llegar a la línea de fondo:
12
+
21
≈
16.6
12+
21
≈16.6
12
−
21
≈
7.4
12−
21
≈7.4
Dado que ambas soluciones están dentro del rango
0
≤
≤
24
0≤x≤24, esto significa que la pelota pasará por encima de la red antes de llegar a la línea de fondo, por lo que el jugador podrá salvar el golpe.