Para resolver este problema, primero necesitamos entender algunas propiedades de los polígonos regulares:
1. La suma de los ángulos internos de un polígono regular está dada por la fórmula: (n - 2) * 180°, donde n es el número de lados del polígono.
2. El ángulo central de un polígono regular es igual a 360° / n, donde n es el número de lados del polígono.
Dado que se nos dice que las sumas de los ángulos internos difieren en 2160° y los ángulos centrales difieren en 5°, podemos plantear las siguientes ecuaciones:
1. Para la diferencia en las sumas de los ángulos internos:
(n1 - 2) * 180° - (n2 - 2) * 180° = 2160°
2. Para la diferencia en los ángulos centrales:
360° / n1 - 360° / n2 = 5°
Donde n1 y n2 son el número de lados de los dos polígonos respectivamente.
Ahora, probemos las opciones dadas:
a) Si el polígono más pequeño tiene 20 lados:
(20 - 2) * 180° = 3240°
Esto significa que el otro polígono tendría 3240° + 2160° = 5400° de suma de ángulos internos. Pero esto no es posible porque incluso un polígono con 1000 lados tendría solo 998 * 180° = 179640° de suma de ángulos internos. Por lo tanto, descartamos 20.
Repitiendo este proceso para las demás opciones, podemos probar la opción 9:
b) Si el polígono más pequeño tiene 9 lados:
(9 - 2) * 180° = 1260°
Esto significa que el otro polígono tendría 1260° + 2160° = 3420° de suma de ángulos internos. Esto es posible y correspondería a un polígono con 24 lados.
Por lo tanto, el número de lados del polígono más pequeño es 9. Entonces, la respuesta correcta es e. 9.
