Respuesta :
Para resolver este problema, podemos utilizar las ecuaciones de movimiento uniformemente acelerado (MRUA) para el movimiento vertical. En este caso, la aceleración será la gravedad, que en la Tierra es aproximadamente \(9.8 \, \text{m/s}^2\) hacia abajo.
Dado que la piedra se lanza hacia abajo, su velocidad inicial será negativa. Tomaremos hacia arriba como la dirección positiva para mantener la consistencia.
a) Para encontrar el tiempo que tarda en llegar al piso, podemos usar la ecuación de posición para el MRUA:
\[y = y_0 + v_{0y}t + \frac{1}{2}gt^2\]
Donde:
\(y\) = posición final (en este caso, 0 m, ya que llega al piso)
\(y_0\) = posición inicial (25 m)
\(v_{0y}\) = velocidad inicial en dirección vertical (en este caso, -8.0 m/s)
\(g\) = aceleración debido a la gravedad (-9.8 m/s²)
\(t\) = tiempo
Sustituyendo los valores conocidos:
\[0 = 25 \, \text{m} - 8.0 \, \text{m/s} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot 9.8 \, \text{m/s}^2 \cdot t^2\]
Esto es una ecuación cuadrática en \(t\). Resolviéndola, obtenemos dos soluciones: \(t_1 = 1.83 \, \text{s}\) y \(t_2 = -1.77 \, \text{s}\). Descartamos la solución negativa, ya que no tiene sentido en este contexto. Por lo tanto, el tiempo que tarda en llegar al piso es de aproximadamente \(1.83 \, \text{s}\).
b) Para encontrar la rapidez con la que choca contra el piso, podemos usar la ecuación de velocidad para el MRUA:
\[v = v_0 + gt\]
Donde:
\(v\) = velocidad final
\(v_0\) = velocidad inicial (en este caso, -8.0 m/s)
\(g\) = aceleración debido a la gravedad (-9.8 m/s²)
\(t\) = tiempo (que ya calculamos, \(1.83 \, \text{s}\))
Sustituyendo los valores conocidos:
\[v = -8.0 \, \text{m/s} - 9.8 \, \text{m/s}^2 \cdot 1.83 \, \text{s}\]
Resolviendo esto, obtenemos \(v \approx -25.54 \, \text{m/s}\). Dado que estamos interesados en el valor de la velocidad en términos de magnitud (sin tener en cuenta la dirección), la velocidad con la que choca contra el piso es aproximadamente \(25.54 \, \text{m/s}\).