Respuesta :
La ecuación de la recta que pasa por los puntos o pares ordenados A(-1,-1) y B(1,1) expresada en la forma explícita está dada por:
[tex]\huge\boxed {\bold { y =x }}[/tex]
Siendo correcta la segunda opción de las presentadas
Para determinar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados debemos primero hallar la pendiente
Por tanto dados dos puntos pertenecientes a una recta con coordenadas:
[tex]\bold { A\ (x_{1},y_{1} ) \ y \ \ B \ (x_{2},y_{2} )}[/tex]
Definimos a la pendiente m de una recta como el cociente entre la diferencia de las ordenadas y la diferencia de las abscisas de los puntos conocidos pertenecientes a la recta
Lo que resulta en
[tex]\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}[/tex]
Determinamos la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(-1,-1) y B(1,1)
[tex]\bold { A \ (-1,-1) \ ( x_{1},y_{1}) \ \ \ B \ ( 1,1) \ ( x_{2},y_{2}) }[/tex]
Hallamos la pendiente
[tex]\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos }[/tex]
[tex]\boxed{\bold {m = \frac{ 1 - (-1) }{1 - (-1) } }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {m = \frac{ 1+1 }{1+1 } }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {m = \frac{ 2 }{2 } }}[/tex]
[tex]\textsf{Dividiendo }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold {m = 1 }}[/tex]
La pendiente m es igual a 1
Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta solicitada
Cuya forma está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}[/tex]
Donde x1 e y1 son las coordenadas de un punto cualesquiera conocido perteneciente a la recta y donde m = 1 es la pendiente. Como conocemos el punto A (-1,-1) tomaremos x1 = -1 e y1 = -1
Por tanto:
[tex]\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold {m=1 } \\\large\textsf{y un punto dado } \bold {A \ (-1,-1 )}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y - (-1) = 1 \cdot (x- (-1)) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y+1 =1 \cdot (x+1) }}[/tex]
Reescribimos la ecuación en la forma pendiente punto de intercepción o pendiente ordenada al origen
También llamada forma principal o explícita
Que responde a la forma:
[tex]\large\boxed {\bold { y = mx +b }}[/tex]
Donde m es la pendiente y b la intersección en Y
Resolvemos para y
[tex]\boxed {\bold { y+1 =1 \cdot (x+1) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y+1= x+1 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y =x +1-1 }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y =x }}[/tex]
Nota que como b = 0, luego la recta intersecará al eje Y en el origen
Habiendo hallado la ecuación de la recta solicitada en la forma explícita
Aunque el enunciado no lo pida
Reescribimos la ecuación en la forma general de la recta
También llamada forma implícita
Que responde a la forma:
[tex]\large\boxed {\bold { Ax +By + C = 0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y=x }}[/tex]
[tex]\textsf{Igualamos a cero }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x-y= 0}}[/tex]
[tex]\large\textsf{Obteniendo }[/tex]
Nota que la recta carece de término independiente, dado que C = 0
[tex]\large\boxed {\bold { x -y= 0 }}[/tex]
Habiendo hallado la ecuación de la recta solicitada en la forma general o implícita
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