Respuesta:
Para resolver este problema, podemos usar las relaciones entre la frecuencia angular \(\omega\), la frecuencia \(f\), el número de onda \(k\), la velocidad de propagación \(v\), y la longitud de onda \(\lambda\) para una onda armónica:
\[
\omega = 2\pi f \quad \text{(1)}
\]
\[
k = \frac{2\pi}{\lambda} \quad \text{(2)}
\]
\[
v = \lambda f \quad \text{(3)}
\]
Para la ecuación dada \(y(x, t) = 0.080\sin(0.20\pi x)\cos(20.0\pi t)\) m, podemos identificar los parámetros:
Amplitud \(A = 0.080\) m
Frecuencia angular \(\omega = 20.0\pi\) rad/s
Número de onda \(k = 0.20\pi\) rad/m
Velocidad de propagación \(v = ?\) m/s
Longitud de onda \(\lambda = ?\) m
### a) Determinar la frecuencia, el número de onda, la velocidad de propagación y la longitud de onda.
#### Frecuencia:
De la ecuación (1), tenemos:
\[
\omega = 2\pi f
\]
Despejando \(f\):
\[
f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{20.0\pi}{2\pi} = 10.0 \text{ Hz}
\]
#### Número de onda:
De la ecuación (2), tenemos:
\[
k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{0.20\pi}{\lambda}
\]
Despejando \(\lambda\):
\[
\lambda = \frac{0.20\pi}{k} = \frac{0.20\pi}{0.20\pi} = 1 \text{ m}
\]
#### Velocidad de propagación:
De la ecuación (3), tenemos:
\[
v = \lambda f = 1 \text{ m} \cdot 10.0 \text{ Hz} = 10 \text{ m/s}
\]
#### Longitud de onda:
Ya calculamos que \(\lambda = 1\) m.
### b) Obtener la función de onda del modo fundamental.
El modo fundamental corresponde al primer armónico. La función de onda para el modo fundamental es simplemente la parte espacial de la onda original, ya que en el modo fundamental no hay variación temporal:
\[ y_1(x) = 0.080\sin(0.20\pi x) \]
### c) Ubicaciones de los nodos en el quinto armónico.
En el quinto armónico, hay cinco nodos. Los nodos corresponden a los puntos donde la función de onda es cero. Para encontrar las ubicaciones de los nodos, igualamos la función de onda a cero y resolvemos para \(x\):
\[ 0 = 0.080\sin(0.20\pi x) \]
Esto ocurre cuando \(\sin(0.20\pi x) = 0\), lo cual sucede cuando \(0.20\pi x = n\pi\) con \(n\) entero. Para el quinto armónico, \(n = 1, 2, 3, 4, 5\). Resolviendo para \(x\):
\[ x = \frac{n}{0.20} = \frac{1}{0.20}, \frac{2}{0.20}, \frac{3}{0.20}, \frac{4}{0.20}, \frac{5}{0.20} \]
\[ x = 5, 10, 15, 20, 25 \]
Entonces, las ubicaciones de los nodos en el quinto armónico están en \(x = 5, 10, 15,