Respuesta:
\[t = 0.4]
Explicación paso a paso:
Para encontrar el tiempo en el que la posición x pasa por cero, necesitamos resolver la ecuación cuadrática:
\[x(t) = 5t^2 + 3t - 2 = 0\]
Esta ecuación es cuadrática, por lo que podemos resolver para \(t\) usando la fórmula cuadrática:
\[t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]
Donde:
- \(a = 5\),
- \(b = 3\),
- \(c = -2\).
Reemplazando en la fórmula, obtenemos:
1. **Calculamos el discriminante**:
\[
b^2 - 4ac = (3^2) - 4 \times 5 \times -2 = 9 + 40 = 49.
\]
2. **Encontramos las soluciones para \(t\)**:
\[
t = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2 \times 5} = \frac{-3 \pm 7}{10}.
\]
Esto nos da dos soluciones:
- Para \(+\sqrt{49}\), obtenemos:
\[
t = \frac{-3 + 7}{10} = \frac{4}{10} = 0.4.
\]
- Para \(-\sqrt{49}\), obtenemos:
\[
t = \frac{-3 - 7}{10} = \frac{-10}{10} = -1.
\]
De estas dos soluciones, nos interesa la que es positiva, ya que el tiempo no puede ser negativo. Por lo tanto, el tiempo en el que la posición x pasa por cero es:
\[t = 0.4\]
Esta es la respuesta que buscabas: el tiempo en el que la posición pasa por cero es 0.4 segundos.
