Explicación paso a paso:
¡Claro! Veamos cada una de las operaciones que quieres realizar:
a) \((k - L)(x)\)
\((k - L)(x) = K(x) - L(x) = (5x^3 + 4x^2 - 7x + 9) - (7x^4 - 8x^3 - 12x^2 - 7x + 10)\)
\(= 5x^3 + 4x^2 - 7x + 9 - 7x^4 + 8x^3 + 12x^2 + 7x - 10\)
\(= -7x^4 + (5x^3 + 8x^3) + (4x^2 + 12x^2) + (-7x + 7x) + (9 - 10)\)
\(= -7x^4 + 13x^3 + 16x^2 - 1\)
Entonces, \((k - L)(x) = -7x^4 + 13x^3 + 16x^2 - 1\)
b) \((f \cdot g)(x)\)
\((f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) = (3x^2 + 7x - 20) \cdot (x^2 - 16)\)
Para multiplicar estos polinomios, aplicamos la distributiva:
\(= 3x^2 \cdot x^2 - 3x^2 \cdot 16 + 7x \cdot x^2 - 7x \cdot 16 - 20 \cdot x^2 + 20 \cdot 16\)
\(= 3x^4 - 48x^2 + 7x^3 - 112x - 20x^2 + 320\)
\(= 3x^4 + 7x^3 - 68x^2 - 112x + 320\)
Entonces, \((f \cdot g)(x) = 3x^4 + 7x^3 - 68x^2 - 112x + 320\)
c) \(\frac{n}{g(x)}\)
\(n(x) = L(x) = 7x^4 - 8x^3 - 12x^2 - 7x + 10\)
\(g(x) = x^2 - 16\)
Entonces, \(\frac{n}{g(x)} = \frac{7x^4 - 8x^3 - 12x^2 - 7x + 10}{x^2 - 16}\)
d) \((g \cdot m)(x) = g(m(x))\)
Primero, encontramos \(m(x) = 5x - 12\), luego sustituimos \(m(x)\) en \(g(x)\):
\(g(m(x)) = (5x - 12)^2 - 16\)
Expanding this:
\(= (25x^2 - 120x + 144) - 16\)
\(= 25x^2 - 120x + 128\)
e) Para encontrar la función inversa de \(m(x) = 5x - 12\), cambiamos \(m(x)\) a \(y\), y luego resolvemos para \(x\):
\(y = 5x - 12\)
Para encontrar la función inversa, intercambiamos \(x\) y \(y\) y luego resolvemos para \(y\):
\(x = 5y - 12\)
Solvemos esta ecuación para \(y\):
\(x + 12 = 5y\)
\(y = \frac{x + 12}{5}\)
Entonces, la función inversa de \(m(x)\) es \(m^{-1}(x) = \frac{x + 12}{5}\).
