Respuesta:
¡Hola! Vamos a resolver esta inecuación paso a paso.
Primero, vamos a identificar los puntos críticos de la función, es decir, los valores de x para los cuales la expresión (2x+8)(x^3−4x)(x^2 −4x+4) es igual a cero o no está definida.
1. Empecemos con (2x+8). Este factor es cero cuando 2x + 8 = 0, entonces x = -4.
2. Ahora veamos x^3−4x. Este factor es cero cuando x(x^2 - 4) = 0. Así que obtenemos que x = 0 y x = ±2.
3. Finalmente, para el factor (x^2 −4x+4), podemos notar que es el cuadrado de (x-2), por lo que será cero cuando x = 2.
Ahora que tenemos nuestros puntos críticos, vamos a usarlos para dividir el eje x en intervalos y determinar el signo de la expresión original en cada intervalo.
Los puntos críticos dividen el eje x en cuatro intervalos: (-∞, -4), (-4, 0), (0, 2), y (2, ∞).
Ahora probaremos un número en cada intervalo para ver el signo de la expresión original:
1. Para x = -5 (en el intervalo (-∞, -4)): (2(-5)+8) * (-5)^3−4(-5)) * ((-5)^2 −4(-5)+4) = (-2) * (-220) * (69) = positivo
2. Para x = -1 (en el intervalo (-4, 0)): (2(-1)+8) * (-1)^3−4(-1)) * ((-1)^2 −4(-1)+4) = (6) * (-5) * (6) = negativo
3. Para x = 1 (en el intervalo (0, 2)): (2(1)+8) * (1)^3−4(1)) * ((1)^2 −4(1)+4) = (10) * (-3) * (1) = negativo
4. Para x = 3 (en el intervalo (2, ∞)): (2(3)+8) * (3)^3−4(3)) * ((3)^2 −4(3)+4) = (14) * (18) * (7) = positivo
Entonces, la solución a la inecuación es:
(-∞, -4] U [-4, 0] U [2, ∞)
