Respuesta:
Para demostrar que la igualdad (tan(x) + cot(x))(cos(x) + sin(x)) = csc(x) + sec(x) es verdadera, podemos simplificar cada lado de la ecuación utilizando las identidades trigonométricas.
Empecemos simplificando el lado izquierdo de la ecuación:
(tan(x) + cot(x))(cos(x) + sin(x))
Usando las identidades trigonométricas, sabemos que:
tan(x) = sin(x)/cos(x)
cot(x) = cos(x)/sin(x)
Reemplazamos estos valores en la expresión original:
(sin(x)/cos(x) + cos(x)/sin(x))(cos(x) + sin(x))
Para hallar el denominador común, multiplicamos cada término por cos(x) * sin(x):
(sin(x) * sin(x) + cos(x) * cos(x))(cos(x) + sin(x))
Por la identidad trigonométrica fundamental: sin^2(x) + cos^2(x) = 1, podemos simplificar:
(1)(cos(x) + sin(x))
Dado que 1 * (cos(x) + sin(x)) equivale a cos(x) + sin(x), hemos demostrado que el lado izquierdo de la ecuación es igual a cos(x) + sin(x).
Ahora, examinemos el lado derecho de la ecuación:
csc(x) + sec(x)
Usando las identidades trigonométricas, sabemos que:
csc(x) = 1/sin(x)
sec(x) = 1/cos(x)
Sumando estas dos expresiones:
1/sin(x) + 1/cos(x)
Para hallar el denominador común, multiplicamos cada término por sin(x) * cos(x):
(cos(x) + sin(x))/(sin(x) * cos(x))
De nuevo, por la identidad trigonométrica fundamental: sin(x) * cos(x) = 1/2 * sin(2x), podemos simplificar:
(cos(x) + sin(x))/(1/2 * sin(2x))
Multiplicando todo por 2:
2(cos(x) + sin(x))/(sin(2x))
Si utilizamos la identidad trigonométrica: sin(2x) = 2sin(x)cos(x), podemos reemplazarlo en la expresión:
2(cos(x) + sin(x))/(2sin(x)cos(x))
Dividiendo tanto el numerador como el denominador por 2:
(cos(x) + sin(x))/(sin(x)cos(x))
Por las propiedades de la multiplicación y la suma de función, podemos reorganizar y obtener:
(cos(x)/sin(x) + sin(x)/cos(x))/(sin(x)cos(x))
Usando las identidades trigonométricas cot(x) = cos(x)/sin(x) y tan(x) = sin(x)/cos(x):
(cot(x) + tan(x))/(sin(x)cos(x))
Nuevamente, por la propiedad de la suma de fracciones:
(cot(x) + tan(x))/(cos(x)sin(x))
Y finalmente, por las identidades trigonométricas csc(x) = 1/sin(x) y sec(x) = 1/cos(x):
(csc(x) + sec(x))/(sin(x)cos(x))
Hemos demostrado que el lado derecho de la ecuación es igual a (csc(x) + sec(x)).
Por lo tanto, hemos demostrado que (tan(x) + cot(x))(cos(x) + sin(x)) es igual a csc(x) + sec(x) utilizando las identidades trigonométricas.
