La distancia de separación entre Diego Alejandro y Violeta es de aproximadamente 206.6 metros
Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.
Donde para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-
Teorema del Seno:
El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.
Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,
Entonces se cumple la relación:
[tex]\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}[/tex]
Representamos la situación en un triángulo ABC: el cual está conformado por el lado AB (c) que representa la distancia entre los dos observadores Diego Alejandro y Violeta, -que se encuentran a la orilla de un río-. Donde Diego Alejandro se ubica en el vértice A y Violeta en el vértice B- y los lados AC (b) y BC (a) que equivalen a las dos distancias desde el observador Diego Alejandro y desde la observadora Violeta respectivamente hasta donde se encuentra la casa -al otro lado del río-, -en el vértice o punto C-. Donde Diego Alejandro avista a la casa -ubicada en C- con un ángulo de 49° y Violeta visualiza el mismo punto con un ángulo de 54°, estando Violeta a una distancia de 160 metros de la casa - ubicada al otro lado del río-
En donde se pide calcular:
La distancia de separación entre Diego Alejandro y Violeta
Ver gráfico adjunto
Denotamos a los ángulos dados por enunciado de avistamiento hacia la casa: de 49° -para el observador Diego Alejandro- y de 54° -para la observadora Violeta- como α y β respectivamente
Hallamos el valor del tercer ángulo C -donde se encuentra la casa- al cual denotamos como γ
Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°:
Planteamos:
[tex]\boxed {\bold { 180^o = 49^o+ 54^o+ \gamma}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\gamma = 180^o -49^o- 54^o }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {\gamma= 77^o }}[/tex]
El valor del ángulo C (γ) es de 77°- el cual es el ángulo comprendido por las dos distancias respectivas desde los observadores Diego Alejandro y Violeta hasta la casa al otro lado del río
Hallamos el valor del lado c (lado AB) -distancia de separación entre Diego Alejandro y Violeta-
[tex]\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{c}{sen(C)} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \frac{160 \ m}{ sen (49^o ) } = \frac{ c }{sen(77^o) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { c = \frac{ 160 \ m \cdot sen(77^o ) }{\ sen(49^o) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { c = \frac{ 160 \ m \cdot 0.974370064785 }{0.754709580223} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { c = \frac{ 155.8992103656 }{ 0.754709580223}\ m}}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { c \approx 206.568 \ metros }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Por imposici\'on de enunciado: }[/tex]
[tex]\textsf{Redondeando a la d\'ecima: }[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold { c =206.6 \ metros }}[/tex]
La distancia de separación entre Diego Alejandro y Violeta es de aproximadamente 206.6 metros
Aunque el enunciado no lo pida:
Determinamos la distancia a la se encuentra Diego Alejandro de la casa ubicada al otro lado del río
Hallamos el valor del lado b (lado AC) -distancia desde Diego Alejandro hasta la casa-
[tex]\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{b}{sen(\beta )} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{b}{sen(B)} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \frac{160 \ m }{ sen (49^o ) } = \frac{ b }{sen(54^o) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { b = \frac{ 160 \ m \cdot sen(54^o ) }{\ sen(49^o) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { b = \frac{ 160 \ m \cdot 0.809016994375 }{0.754709580223} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { b = \frac{ 129.4427191 }{ 0.754709580223}\ m}}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { b \approx 171.513 \ metros }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Por imposici\'on de enunciado: }[/tex]
[tex]\textsf{Redondeando a la d\'ecima: }[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold { b =171.5 \ metros }}[/tex]
La distancia desde Diego Alejandro hasta la casa al otro lado del río es de aproximadamente 171.5 metros
Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión entre las relaciones entre los lados y los ángulos planteados, donde se comprueba el resultado obtenido
