Respuesta:
Para resolver esta ecuación trigonométrica, vamos a usar algunas identidades trigonométricas fundamentales.
Primero, recordemos las siguientes identidades:
1. **Identidad Pitagórica para seno y coseno:**
\[ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \]
2. **Identidades para secante y cosecante:**
\[ \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} \]
\[ \csc(x) = \frac{1}{\sin(x)} \]
3. **Identidad para cotangente:**
\[ \cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \]
Con estas identidades en mente, vamos a transformar la expresión dada:
\[ \frac{\csc^2(x) - 1}{\sec^2(x) - 1} = \cot^4(x) \]
Usando las identidades para secante y cosecante:
\[ \frac{1/\sin^2(x) - 1}{1/\cos^2(x) - 1} = \left( \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \right)^4 \]
Multiplicamos numerador y denominador por \(\sin^2(x)\cos^2(x)\) para eliminar las fracciones en el numerador y el denominador:
\[ \frac{\cos^2(x) - \sin^2(x)}{\sin^2(x) - \cos^2(x)} = \cos^4(x)/\sin^4(x) \]
Ahora, notamos que el numerador es simplemente el negativo del denominador, así que podemos simplificar:
\[ \frac{-(\sin^2(x) - \cos^2(x))}{\sin^2(x) - \cos^2(x)} = -1 = \cos^4(x)/\sin^4(x) \]
La última parte no es generalmente verdadera, ya que \(-1\) no es igual a \(\cos^4(x)/\sin^4(x)\) para todos los valores de \(x\). Sin embargo, existe un error en el proceso de simplificación; el signo negativo debería haberse cancelado cuando se dividió el numerador por el denominador.
Volvamos al paso de simplificación correcto:
\[ \frac{-(\sin^2(x) - \cos^2(x))}{\sin^2(x) - \cos^2(x)} = \frac{\sin^2(x) - \cos^2(x)}{\sin^2(x) - \cos^2(x)} = 1 \]
Esto significa que la expresión original se simplifica a 1:
\[ \frac{\csc^2(x) - 1}{\sec^2(x) - 1} = 1 \]
Y eso no es igual a \(\cot^4(x)\), a menos que \(\cot^4(x)\) también sea igual a 1, lo que ocurre solo para ciertos valores de \(x\).
Por lo tanto, la expresión original no es una identidad (verdadera para todos los valores de \(x\)) sino una ecuación que es verdadera solo para algunos valores específicos de \(x\).
