Respuesta :
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Para resolver este problema, podemos utilizar la ley de los cosenos. Primero, necesitamos encontrar la longitud del lado AC y el lado BC del triángulo. Luego, podemos usar la ley de los cosenos para encontrar la longitud del lado AB, que representa la distancia entre Joaquín y Mariana.
Dado que conocemos dos ángulos y un lado del triángulo, podemos usar la ley de los senos para encontrar la longitud del lado AC:
\[ \frac{\sin(A)}{AC} = \frac{\sin(C)}{AB} \]
\[ \frac{\sin(41^\circ)}{AC} = \frac{\sin(180^\circ - 41^\circ - 47^\circ)}{160} \]
Resolviendo para AC:
\[ AC = \frac{\sin(41^\circ) \times 160}{\sin(92^\circ)} \]
\[ AC ≈ \frac{0.656 \times 160}{0.999} \]
\[ AC ≈ 105.02 \]
Ahora, podemos encontrar la longitud del lado BC usando la ley de los senos:
\[ \frac{\sin(B)}{BC} = \frac{\sin(C)}{AB} \]
\[ \frac{\sin(47^\circ)}{BC} = \frac{\sin(92^\circ)}{160} \]
Resolviendo para BC:
\[ BC = \frac{\sin(47^\circ) \times 160}{\sin(92^\circ)} \]
\[ BC ≈ \frac{0.731 \times 160}{0.999} \]
\[ BC ≈ 116.97 \]
Ahora, podemos encontrar la longitud del lado AB usando la ley de los cosenos:
\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \times AC \times BC \times \cos(C) \]
\[ AB^2 = 105.02^2 + 116.97^2 - 2 \times 105.02 \times 116.97 \times \cos(92^\circ) \]
Resolviendo para AB:
\[ AB ≈ \sqrt{(105.02)^2 + (116.97)^2 - 2 \times 105.02 \times 116.97 \times 0.0} \]
\[ AB ≈ \sqrt{11045.24} \]
\[ AB ≈ 105.1 \]
Por lo tanto, Joaquín y Mariana están parados a una distancia de aproximadamente 105.1 metros uno del otro.