Respuesta :
Vamos a utilizar el método de Ruffini con \(X = 1\) como nuestro candidato inicial para encontrar las raíces del polinomio \(X^3 + 2X^2 - 5X - 6\):
\[
\begin{array}{c|cccc}
1 & 1 & 2 & -5 & -6 \\
\hline
& & 1 & 3 & -2 \\
\end{array}
\]
Esto nos da un cociente de \(X^2 + 3X - 2\). Ahora, podemos resolver \(X^2 + 3X - 2\) para encontrar las otras dos raíces.
Usando la fórmula cuadrática \(X = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\), donde \(a = 1\), \(b = 3\), y \(c = -2\):
\[
X = \frac{{-3 \pm \sqrt{{3^2 - 4(1)(-2)}}}}{{2(1)}}
\]
\[
X = \frac{{-3 \pm \sqrt{{9 + 8}}}}{{2}}
\]
\[
X = \frac{{-3 \pm \sqrt{{17}}}}{{2}}
\]
Entonces, las raíces del polinomio son \(X = 1\), \(X = \frac{{-3 + \sqrt{{17}}}}{{2}}\), y \(X = \frac{{-3 - \sqrt{{17}}}}{{2}}\).