Explicación paso a paso:
Para calcular el número de diagonales de un polígono regular, podemos usar la fórmula:
\[ \text{Número de diagonales} = \frac{n(n - 3)}{2} \]
donde \( n \) es el número de lados del polígono.
Dado que sabemos que el cuadrado de la medida del ángulo central \( x \) es numéricamente igual a 9 veces la medida de su ángulo interior \( y \), podemos establecer la siguiente ecuación:
\[ x^2 = 9y \]
Sabemos que la suma de los ángulos interiores de un polígono regular es \( (n - 2) \times 180^\circ \), y como todos los ángulos interiores son iguales en un polígono regular, cada ángulo interior tiene medida \( y \). Entonces, \( y = \frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n} \).
También sabemos que la medida del ángulo central \( x \) es \( \frac{360^\circ}{n} \).
Sustituyendo \( x \) y \( y \) en la ecuación \( x^2 = 9y \), obtenemos:
\[ \left(\frac{360^\circ}{n}\right)^2 = 9\left(\frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n}\right) \]
Resolviendo esta ecuación, encontramos el valor de \( n \), que es el número de lados del polígono.
Una vez que tenemos \( n \), podemos usar la fórmula mencionada al principio para calcular el número de diagonales.
