Para resolver este problema utilizando una distribución binomial, necesitamos usar la fórmula:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]
Donde:
- \( n \) es el número de ensayos (en este caso, el tamaño de la muestra, que es 24).
- \( k \) es el número de éxitos que estamos buscando.
- \( p \) es la probabilidad de éxito en un solo ensayo (la proporción de personas con diabetes en la población, que es 0.12).
a) Para encontrar la probabilidad de exactamente 5 personas con diabetes en la muestra, usamos \( k = 5 \):
\[ P(X = 5) = \binom{24}{5} \cdot 0.12^5 \cdot (1 - 0.12)^{24 - 5} \]
b) Para encontrar la probabilidad de entre 2 y 4 personas con diabetes en la muestra, sumamos las probabilidades de tener 2, 3 y 4 personas con diabetes:
\[ P(2 \leq X \leq 4) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) \]
Calculando cada una de estas probabilidades y sumándolas, obtenemos la respuesta para la parte b).
Voy a calcular estos valores.
a) Probabilidad de exactamente 5 personas con diabetes:
\[ P(X = 5) = \binom{24}{5} \cdot 0.12^5 \cdot (1 - 0.12)^{24 - 5} \]
\[ P(X = 5) \approx 0.094 \]
b) Probabilidad de entre 2 y 4 personas con diabetes:
\[ P(2 \leq X \leq 4) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) \]
\[ P(2 \leq X \leq 4) \approx 0.615 \]
Entonces, la probabilidad de que haya exactamente 5 personas con diabetes en la muestra es aproximadamente 0.094, y la probabilidad de que haya entre 2 y 4 personas con diabetes es aproximadamente 0.615.
