Respuesta :
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Para resolver este problema, utilizaremos las propiedades de una progresión geométrica (P.G.) y una progresión aritmética (P.A.).
En una progresión geométrica, los términos consecutivos tienen una razón constante. Si llamamos al primer término \(a\), al segundo término \(ar\), al tercer término \(ar^2\), y así sucesivamente, entonces la suma de los términos medios de una P.G. se puede calcular con la fórmula:
\[ \text{Suma de términos medios} = (n-2) \cdot \text{término medio} \]
donde \(n\) es el número total de términos.
En este problema, dado que la suma de los términos medios es 16 y la razón aritmética de los mismos es 4, podemos escribir:
\[ (n-2) \cdot \text{término medio} = 16 \]
y el término medio es \( \frac{a + ar^2}{2} \), donde \(a\) es el primer término y \(r\) es la razón.
Dado que la razón aritmética de los términos medios es 4, podemos escribir:
\[ ar^2 - a = 4 \]
Ahora, dado que queremos encontrar el producto de los extremos (es decir, \(a \cdot ar^3\)), necesitamos expresar \(ar^3\) en términos de \(a\) y \(r\). Podemos hacer esto reemplazando \(ar^2\) por \(a + 4\) en la fórmula para el término medio:
\[ \frac{a + a + 4}{2} = 16 \]
\[ 2a + 4 = 32 \]
\[ 2a = 28 \]
\[ a = 14 \]
Luego, reemplazamos \(a\) en la ecuación \(ar^2 - a = 4\):
\[ 14r^2 - 14 = 4 \]
\[ 14r^2 = 18 \]
\[ r^2 = \frac{18}{14} \]
\[ r^2 = \frac{9}{7} \]
\[ r = \sqrt{\frac{9}{7}} = \frac{3}{\sqrt{7}} \]
Por lo tanto, el producto de los extremos es:
\[ a \cdot ar^3 = 14 \cdot 14 \cdot \left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right)^3 = 196 \cdot \frac{27}{7} = 4 \cdot 27 = 108 \]
Así que la respuesta correcta no está en las opciones proporcionadas. Parece que hay un error en el enunciado del problema o en mis cálculos. ¿Puedo ayudarte con algo más?
Explicación paso a paso: