Respuesta:
Para encontrar el volumen máximo de la caja rectangular sin tapa, primero debemos determinar las dimensiones de la caja que maximizan el volumen.
Dado que se corta un cuadrado en cada esquina, si llamamos a la longitud del lado de estos cuadrados x, entonces la longitud de la base de la caja será \(30 - 2x\) (ya que se restan dos segmentos de longitud x en la dirección de 30 cm) y la longitud del lado de la caja será \(15 - 2x\) (por la misma razón).
El volumen de una caja rectangular es el producto de su longitud, anchura y altura. En este caso, la altura será x. Por lo tanto, el volumen V en función de x es:
\[V(x) = x(30 - 2x)(15 - 2x)\]
Expandiendo esta expresión, obtenemos:
\[V(x) = x(450 - 60x - 30x + 4x^2)\]
\[V(x) = x(450 - 90x + 4x^2)\]
\[V(x) = 450x - 90x^2 + 4x^3\]
Para encontrar el valor máximo de V, necesitamos encontrar el valor de x que maximiza V. Para eso, derivamos V respecto a x y luego igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos:
\[V'(x) = 450 - 180x + 12x^2\]
Igualando a cero y resolviendo la ecuación \(180x - 12x^2 = 450\):
\[12x^2 - 180x + 450 = 0\]
\[12(x^2 - 15x + 37.5) = 0\]
Las soluciones de esta ecuación cuadrática son complejas, lo que significa que no hay un máximo local para el volumen dentro del rango de x entre 0 y 7.5 (pues x no puede ser mayor que 7.5 ya que la longitud de los lados restantes sería negativa).
Entonces, el volumen máximo se encuentra en uno de los extremos del intervalo. Evaluando V en estos extremos:
Cuando \(x = 0\), \(V = 0\).
Cuando \(x = 7.5\), \(V = 7.5(30 - 2(7.5))(15 - 2(7.5)) = 7.5(30 - 15)(15 - 15) = 7.5(15)(0) = 0\).
Por lo tanto, el volumen máximo de la caja rectangular sin tapa es 0 cm³. Esto ocurre porque, al maximizar la longitud de los cortes en las esquinas, la caja se convierte en una lámina plana, perdiendo toda su capacidad de volumen.
