Respuesta :
La altura h del monumento es de 4√3 metros o de aproximadamente 6.93 metros
Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
Donde el triángulo 30-60 es lo que se denomina un triángulo notable
Representamos la situación del problema en dos triángulos rectángulos:
El ABC: el cual está conformado por el lado AC que equivale a la altura del monumento, el lado BC que representa la distancia sobre la línea del suelo desde el observador hasta el pie del monumento -donde no conocemos la totalidad de esa distancia sino sólo una porción- : la del segmento DB: donde el observador se alejó desde el primer punto de avistamiento 8 metros hasta otro punto del suelo o de observación, y no sabemos la longitud del segmento DC - a la cual llamaremos distancia "x" - y el lado AB es la línea visual hasta la parte superior del monumento, visto con un ángulo de elevación de 30°
El ACD: el cual está configurado por el lado AC que equivale a la altura del monumento, el lado DC que es la distancia sobre el plano del suelo desde el observador -ubicado en el primer punto de avistamiento- hasta el pie del monumento, antes de haber retrocedido en línea recta desde allí 8 metros. Esta distancia es de valor desconocido y es a la que llamamos distancia "x". Y por último tenemos el lado AD que equivale a la línea visual hasta la cima del monumento, visto con un ángulo de elevación de 60°
Donde se pide determinar:
La altura h del monumento
Planteamos un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, a las que llamaremos variable x y variable h
Donde "x" será la distancia a hallar sobre la línea del suelo hasta el pie del monumento, antes de haber retrocedido desde el primer punto de observación 8 metros, alcanzando el segundo punto de ubicación
Y donde la incógnita "h" será la altura del monumento
Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:
Siendo la altura "h" del monumento el cateto opuesto a los ángulos dados y en donde las diferentes distancias hasta el monumento son los catetos adyacentes de los respectivos ángulos de elevación
En donde la altura "h" del monumento es un valor que no cambiará para ninguna de las distancias de donde el observador se encuentre
Y como conocemos de manera parcial la medida del cateto adyacente, los dos ángulos de elevación según se sitúe la persona en un punto del plano horizontal o del suelo, y nos piden hallar la altura del monumento emplearemos la razón trigonométrica tangente para determinar la incógnita
Hallamos la distancia x
Planteamos un sistema de ecuaciones
[tex]\boxed {\bold {tan (60^o) = \frac{h}{x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to h = x \cdot tan(60^o ) } }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {tan (30^o) = \frac{h}{x +8} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to h = (x + 8) \cdot tan (30^o) } }[/tex]
Igualamos las dos expresiones para hallar el valor de x
[tex]\boxed { \bold {x \cdot tan(60^o)= (x + 8) \cdot tan(30^o) }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x \cdot tan(60^o) = x \cdot tan(30^o) +8 \cdot tan(30^o) }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x \cdot tan(60^o) - x \cdot tan(30^o) =8 \cdot tan(30^o) }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x \cdot (tan(60^o) - \ tan(30^o) )=8\cdot tan(30^o) }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x = \frac{ 8 \cdot tan(30^o) }{ tan(60^o) - \ tan(30^o) } }}[/tex]
[tex]\large \textsf{El valor exacto de tan de 30 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{3} }[/tex]
[tex]\large \textsf{El valor exacto de tan de 60 grados es de }\bold{ \sqrt{3} }[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x = \frac{ 8 \cdot \frac{\sqrt{3} }{3} }{ \sqrt{3} \ - \ \frac{\sqrt{3} }{3} } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x = \frac{ 8 \cdot \frac{\sqrt{3} }{3} }{ \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3} }{3} } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x = \frac{ 8 \cdot \frac{\sqrt{3} }{3} }{ \frac{3\sqrt{3} }{3} - \frac{\sqrt{3} }{3} } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x = \frac{ 8 \cdot \frac{\sqrt{3} }{3} }{ \frac{2\sqrt{3} }{3} } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x = 8 \cdot \frac{\sqrt{3} }{3} \cdot \frac{3}{2\sqrt{3} } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x = 8 \cdot \frac{\not \sqrt{3} }{\not3} \cdot \frac{\not3}{2\not \sqrt{3} } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x = \frac{8}{2} \ m }}[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold {x = 4 \ metros }}[/tex]
La distancia x es de 4 metros
Hallamos la altura h del monumento
Hallamos el valor de h, reemplazando el valor hallado de x en cualquiera de las ecuaciones planteadas en el inciso anterior
Si
[tex]\large\boxed {\bold {h = x \cdot tan(60^o)}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {h = 4 \ m \cdot \sqrt{3} }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {h = 4 \sqrt{3} \ metros }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Expresado de manera decimal: }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {h \approx 6.93 \ metros }}[/tex]
La altura h del monumento es de 4√3 metros o de aproximadamente 6.93 metros
Se adjunta gráfico a escala que representa la situación, donde se comprueba el resultado obtenido
