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Explicación paso a paso:
Para calcular el rango de la función cuadrática \( f(x) = 5x^2 + 3x - 1 \), primero necesitamos encontrar los valores mínimo y máximo de la función.
Dado que la función es una parábola que se abre hacia arriba (debido al coeficiente positivo de \( x^2 \)), su valor mínimo se encuentra en el vértice de la parábola. El vértice de una parábola definida por \( f(x) = ax^2 + bx + c \) se puede encontrar en \( x = -\frac{b}{2a} \).
Para la función \( f(x) = 5x^2 + 3x - 1 \), tenemos \( a = 5 \) y \( b = 3 \). Por lo tanto, el valor de \( x \) en el vértice es:
\[ x = -\frac{3}{2 \times 5} = -\frac{3}{10} \]
Sustituyendo \( x = -\frac{3}{10} \) en la función, podemos encontrar el valor mínimo:
\[ f\left(-\frac{3}{10}\right) = 5\left(-\frac{3}{10}\right)^2 + 3\left(-\frac{3}{10}\right) - 1 \]
Calculando esto, obtenemos el valor mínimo de la función.
Además, como la parábola se abre hacia arriba, no hay límite superior para los valores de \( f(x) \). Por lo tanto, el rango de la función será desde el valor mínimo de \( f(x) \) hasta el infinito.
Una vez calculado el valor mínimo, podemos determinar el rango de la función en el conjunto dado de valores de \( x \).