Respuesta:
Explicación paso a paso:
Para encontrar la distancia que recorre un balón de fútbol lanzado desde el punto de penalti hasta el punto central del arco, podemos usar la física básica y el concepto de tiro parabólico.
Sabemos que la altura de la portería es de 2.4 metros. También sabemos que el punto de penalti está a una distancia de 11 metros del arco en la mayoría de las reglas del fútbol.
Cuando un balón de fútbol es lanzado desde el punto de penalti hacia la portería, describe una trayectoria parabólica. Queremos encontrar la distancia horizontal que recorre el balón antes de alcanzar la altura de la portería.
Para esto, podemos utilizar la ecuación de la trayectoria parabólica, que relaciona la distancia horizontal (\(x\)), la altura inicial (\(y_0\)), la velocidad inicial (\(v_0\)), el ángulo de lanzamiento (\(\theta\)) y la gravedad (\(g\)):
\[y = y_0 + x \tan(\theta) - \frac{gx^2}{2v_0^2 \cos^2(\theta)}\]
En este caso, la altura inicial (\(y_0\)) es cero, ya que el balón se lanza desde el suelo, y la altura a la que queremos llegar (\(y\)) es 2.4 metros.
Dado que no conocemos el ángulo de lanzamiento (\(\theta\)), necesitamos encontrarlo. Podemos hacerlo utilizando la ecuación de alcance máximo de un proyectil, que es:
\[R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}\]
Dado que el alcance máximo se da cuando \(\sin(2\theta) = 1\), podemos resolver la ecuación para \(\theta\):
\[2\theta = \sin^{-1}\left(\frac{Rg}{v_0^2}\right)\]
Ahora, podemos encontrar el ángulo de lanzamiento y usarlo en la ecuación de la trayectoria parabólica para encontrar la distancia horizontal \(x\) que recorre el balón.
Finalmente, podemos calcular la distancia recorrida por el balón sumando la distancia horizontal al punto de penalti (11 metros) y la distancia horizontal que recorre antes de alcanzar la altura de la portería.
