Respuesta:
Para resolver este problema, primero necesitamos hallar la ecuación cuadrática que modela la altura \( h(t) \) del proyectil en función del tiempo \( t \). La ecuación cuadrática tiene la forma:
\[ h(t) = at^2 + bt + c \]
Donde:
- \( a \) es la aceleración debida a la gravedad dividida por 2 (en la dirección opuesta, así que será negativo),
- \( b \) es la velocidad inicial,
- \( c \) es la altura inicial.
Dado que el proyectil vuelve al suelo después de 9 segundos, sabemos que \( h(9) = 0 \). Además, la altura inicial del proyectil es 0, por lo que \( h(0) = 0 \). También, sabemos que a los 5 segundos la altura es de 40 metros, es decir, \( h(5) = 40 \).
Utilizando estas condiciones, formamos un sistema de ecuaciones para encontrar \( a \), \( b \) y \( c \).
1. \( h(0) = 0 \):
\[ 0 = a(0)^2 + b(0) + c \implies c = 0 \]
2. \( h(9) = 0 \):
\[ 0 = a(9)^2 + b(9) + 0 \implies 81a + 9b = 0 \implies 9a + b = 0 \implies b = -9a \]
3. \( h(5) = 40 \):
\[ 40 = a(5)^2 + b(5) + 0 \implies 25a + 5b = 40 \]
Sustituyendo \( b = -9a \):
\[ 25a + 5(-9a) = 40 \implies 25a - 45a = 40 \implies -20a = 40 \implies a = -2 \]
Entonces, \( b = -9a = -9(-2) = 18 \).
Ahora, tenemos la ecuación:
\[ h(t) = -2t^2 + 18t \]
a) Para encontrar la altura máxima, encontramos el vértice de la parábola. La fórmula para el tiempo en el que ocurre el vértice \( t_{\text{vértice}} \) es:
\[ t_{\text{vértice}} = \frac{-b}{2a} = \frac{-18}{2(-2)} = \frac{18}{4} = 4.5 \, \text{segundos} \]
La altura máxima se obtiene evaluando \( h(4.5) \):
\[ h(4.5) = -2(4.5)^2 + 18(4.5) \]
\[ h(4.5) = -2(20.25) + 81 \]
\[ h(4.5) = -40.5 + 81 \]
\[ h(4.5) = 40.5 \, \text{metros} \]
b) Para encontrar en qué otros momentos estuvo a 5 metros de altura, resolvemos \( h(t) = 5 \):
\[ 5 = -2t^2 + 18t \]
\[ -2t^2 + 18t - 5 = 0 \]
Usamos la fórmula cuadrática \( t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \):
\[ t = \frac{-18 \pm \sqrt{18^2 - 4(-2)(-5)}}{2(-2)} \]
\[ t = \frac{-18 \pm \sqrt{324 - 40}}{-4} \]
\[ t = \frac{-18 \pm \sqrt{284}}{-4} \]
\[ t = \frac{-18 \pm 2\sqrt{71}}{-4} \]
\[ t = \frac{18 \mp 2\sqrt{71}}{4} \]
\[ t = \frac{9 \mp \sqrt{71}}{2} \]
Por lo tanto, los momentos en que el proyectil estuvo a 5 metros de altura son:
\[ t = \frac{9 - \sqrt{71}}{2} \, \text{segundos} \]
\[ t = \frac{9 + \sqrt{71}}{2} \, \text{segundos} \]
Entonces, hemos encontrado la fórmula cuadrática que modela la situación y hemos respondido las preguntas planteadas.
