Respuesta :
Para determinar el área encerrada por la función \( f(x) = 4 - x^2 \) y el eje x, primero necesitamos encontrar los puntos de intersección entre la función y el eje x.
Cuando la función cruza el eje x, \( f(x) = 0 \), entonces:
\[ 4 - x^2 = 0 \]
Resolviendo esta ecuación cuadrática para \( x \):
\[ x^2 = 4 \]
\[ x = \pm \sqrt{4} \]
\[ x = \pm 2 \]
Por lo tanto, los puntos de intersección son \( x = -2 \) y \( x = 2 \).
Ahora, para encontrar el área encerrada entre la función y el eje x, podemos calcular la integral definida de \( f(x) \) desde \( x = -2 \) hasta \( x = 2 \):
\[ \text{Área} = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx \]
\[ = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} \]
\[ = \left[ (4 \cdot 2 - \frac{2^3}{3}) - (4 \cdot (-2) - \frac{(-2)^3}{3}) \right] \]
\[ = \left[ (8 - \frac{8}{3}) - (-8 - \frac{-8}{3}) \right] \]
\[ = \left[ \frac{24}{3} - \frac{8}{3} + \frac{24}{3} + \frac{8}{3} \right] \]
\[ = \frac{48}{3} = 16 \]
Por lo tanto, el área encerrada por la función \( f(x) = 4 - x^2 \) y el eje x es \( 16 \) unidades cuadradas.
Cuando la función cruza el eje x, \( f(x) = 0 \), entonces:
\[ 4 - x^2 = 0 \]
Resolviendo esta ecuación cuadrática para \( x \):
\[ x^2 = 4 \]
\[ x = \pm \sqrt{4} \]
\[ x = \pm 2 \]
Por lo tanto, los puntos de intersección son \( x = -2 \) y \( x = 2 \).
Ahora, para encontrar el área encerrada entre la función y el eje x, podemos calcular la integral definida de \( f(x) \) desde \( x = -2 \) hasta \( x = 2 \):
\[ \text{Área} = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx \]
\[ = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} \]
\[ = \left[ (4 \cdot 2 - \frac{2^3}{3}) - (4 \cdot (-2) - \frac{(-2)^3}{3}) \right] \]
\[ = \left[ (8 - \frac{8}{3}) - (-8 - \frac{-8}{3}) \right] \]
\[ = \left[ \frac{24}{3} - \frac{8}{3} + \frac{24}{3} + \frac{8}{3} \right] \]
\[ = \frac{48}{3} = 16 \]
Por lo tanto, el área encerrada por la función \( f(x) = 4 - x^2 \) y el eje x es \( 16 \) unidades cuadradas.