5 unidades cuadradas
Explicación paso a paso:
Para calcular el área de un triángulo con vértices dados en un plano cartesiano, puedes usar la fórmula de determinante.
Dado que los vértices son A(1,3), B(3,-1) y C(4,2), primero necesitas encontrar las coordenadas de los lados del triángulo:
1. Lado AB:
AB = √((3 - 1)² + (-1 - 3)²)
= √(2² + (-4)²)
= √(4 + 16)
= √20
= 2√5
2. Lado BC:
BC = √((4 - 3)² + (2 - (-1))²)
= √(1² + 3²)
= √(1 + 9)
= √10
3. Lado AC:
AC = √((4 - 1)² + (2 - 3)²)
= √(3² + (-1)²)
= √(9 + 1)
= √10
Ahora que tienes las longitudes de los lados, puedes calcular el área usando la fórmula de Herón:
s = (AB + BC + AC) / 2
s = (2√5 + √10 + √10) / 2
s = (2√5 + 2√10) / 2
s = 2(√5 + √10) / 2
s = √5 + √10
Área = √[s(s - AB)(s - BC)(s - AC)]
Área = √[√5 + √10 (√5 + √10 - 2√5)(√5 + √10 - √10)(√5 + √10 - √10)]
Área = √[√5 + √10 (√5 + √10 - 2√5)(√10)(√5)]
Área = √[√5 + √10 (√5 + √10 - 2√5)(√50)]
Área = √[√5 + √10 (√5 + √10 - 2√5)(5√2)]
Área = √[√5 + √10 (5 - 2√5)(5√2)]
Área = √[√5 + √10 (25√2 - 10√10)]
Área = √[√5 + 25√(20) - 100√2]
Área = √[√5 + √20)
Área = √(5 + 20)
Área = √25
Área = 5
Por lo tanto, el área del triángulo con vértices A(1,3), B(3,-1) y C(4,2) es 5 unidades cuadradas.
