Respuesta:Para expandir el binomio \((12x - 6)^9\), podemos usar el Binomio de Newton. La fórmula general del Binomio de Newton para un binomio elevado a una potencia es:
\[
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} \cdot b^k
\]
Donde:
- \(n\) es el exponente al que se eleva el binomio.
- \(k\) es un índice que va desde 0 hasta \(n\).
- \(\binom{n}{k}\) es el coeficiente binomial, que se calcula mediante la fórmula \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\).
- \(a\) y \(b\) son los términos del binomio.
En tu caso, el binomio es \((12x - 6)\) y \(n = 9\). Entonces, podemos usar la fórmula del Binomio de Newton para expandirlo. La expansión será una suma de términos, cada uno de los cuales será un coeficiente multiplicado por \(a^{n-k}\) y \(b^k\).
Voy a calcular la expansión para ti.
La expansión del binomio \((12x - 6)^9\) utilizando el Binomio de Newton es:
\[
(12x - 6)^9 = \sum_{k=0}^{9} \binom{9}{k} (12x)^{9-k} \cdot (-6)^k
\]
Ahora, calcularemos cada término de esta suma:
\[
\begin{align*}
\binom{9}{0} (12x)^9 \cdot (-6)^0 & = 1 \cdot (12x)^9 \cdot 1 \\
\binom{9}{1} (12x)^8 \cdot (-6)^1 & = 9 \cdot (12x)^8 \cdot (-6) \\
\binom{9}{2} (12x)^7 \cdot (-6)^2 & = 36 \cdot (12x)^7 \cdot 36 \\
\binom{9}{3} (12x)^6 \cdot (-6)^3 & = 84 \cdot (12x)^6 \cdot (-216) \\
\binom{9}{4} (12x)^5 \cdot (-6)^4 & = 126 \cdot (12x)^5 \cdot 1296 \\
\binom{9}{5} (12x)^4 \cdot (-6)^5 & = 126 \cdot (12x)^4 \cdot (-7776) \\
\binom{9}{6} (12x)^3 \cdot (-6)^6 & = 84 \cdot (12x)^3 \cdot 46656 \\
\binom{9}{7} (12x)^2 \cdot (-6)^7 & = 36 \cdot (12x)^2 \cdot (-279936) \\
\binom{9}{8} (12x)^1 \cdot (-6)^8 & = 9 \cdot (12x)^1 \cdot 1679616 \\
\binom{9}{9} (12x)^0 \cdot (-6)^9 & = 1 \cdot (1) \cdot (-10077696)
\end{align*}
\]
Finalmente, sumamos todos estos términos para obtener la expansión completa de \((12x - 6)^9\).
Explicación paso a paso:
