Respuesta:
Para resolver este problema, primero debemos encontrar el tiempo que tarda cada corredor en completar la distancia de 1.6 km (1600 metros).
El corredor más lento tiene una velocidad de 4 m/s. El tiempo que tarda en recorrer 1600 metros se calcula así:
\[ t_{\text{lento}} = \frac{d}{v} = \frac{1600\, \text{m}}{4\, \text{m/s}} = 400\, \text{s} \]
El corredor más rápido tiene una velocidad de 5.2 m/s. El tiempo que tarda en recorrer 1600 metros se calcula así:
\[ t_{\text{rápido}} = \frac{d}{v} = \frac{1600\, \text{m}}{5.2\, \text{m/s}} \approx 307.69\, \text{s} \]
Para que ambos corredores lleguen a la meta al mismo tiempo, el corredor más rápido debe arrancar después de que el corredor más lento haya recorrido una cierta distancia \( x \).
Supongamos que el corredor lento recorre una distancia \( x \) antes de que el corredor rápido comience. En ese tiempo, el corredor lento ha corrido:
\[ t_{\text{inicio rápido}} = \frac{x}{4\, \text{m/s}} \]
El corredor rápido entonces tiene que recorrer la distancia completa (1600 metros) en el tiempo que queda, es decir, 400 segundos menos el tiempo que el corredor lento ha estado corriendo:
\[ t_{\text{restante}} = 400\, \text{s} - \frac{x}{4\, \text{m/s}} \]
El corredor rápido recorre la distancia completa en su propio tiempo:
\[ 1600\, \text{m} = 5.2\, \text{m/s} \times t_{\text{restante}} \]
Sustituyendo \( t_{\text{restante}} \):
\[ 1600 = 5.2 \left(400 - \frac{x}{4}\right) \]
Resolviendo para \( x \):
\[ 1600 = 5.2 \left(400 - \frac{x}{4}\right) \]
\[ 1600 = 2080 - 1.3x \]
\[ 1.3x = 2080 - 1600 \]
\[ 1.3x = 480 \]
\[ x = \frac{480}{1.3} \]
\[ x \approx 369.23 \, \text{m} \]
Por lo tanto, el punto donde el corredor lento debe estar cuando el corredor rápido comienza su carrera es aproximadamente 369.23 metros de la línea de salida.
