Respuesta:
Para resolver la ecuación \( \log(9x+1) - \log(5x-1) = 1 - \log 5 \), primero utilizamos las propiedades de los logaritmos.
1. Usamos la propiedad de los logaritmos que dice que la resta de logaritmos es igual al logaritmo del cociente:
\[
\log \left( \frac{9x+1}{5x-1} \right) = 1 - \log 5
\]
2. Reescribimos \(1\) en términos de logaritmos. Recordemos que \(1 = \log 10\):
\[
\log \left( \frac{9x+1}{5x-1} \right) = \log 10 - \log 5
\]
3. Usamos la propiedad de los logaritmos que dice que la resta de logaritmos es igual al logaritmo del cociente:
\[
\log \left( \frac{9x+1}{5x-1} \right) = \log \left( \frac{10}{5} \right)
\]
4. Simplificamos el lado derecho:
\[
\log \left( \frac{9x+1}{5x-1} \right) = \log 2
\]
5. Como los logaritmos son iguales, sus argumentos deben ser iguales:
\[
\frac{9x+1}{5x-1} = 2
\]
6. Ahora resolvemos la ecuación algebraica:
\[
9x + 1 = 2(5x - 1)
\]
7. Distribuimos el 2 en el lado derecho:
\[
9x + 1 = 10x - 2
\]
8. Restamos \(9x\) de ambos lados para aislar \(x\):
\[
1 = x - 2
\]
9. Sumamos 2 a ambos lados:
\[
x = 3
\]
Finalmente, verificamos que \(x = 3\) satisface las condiciones originales de la ecuación (que los argumentos de los logaritmos sean positivos):
- Para \(\log(9x+1)\): \(9(3)+1 = 28 > 0\)
- Para \(\log(5x-1)\): \(5(3)-1 = 14 > 0\)
Ambos argumentos son positivos, por lo que la solución es válida.
La solución de la ecuación es \(x = 3\).
