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Para encontrar los puntos en los que la recta tangente a \(y = f(x)\) es paralela a la recta \(y = 8x + 2\), primero necesitamos determinar la derivada de \(f(x)\) y luego igualar esta derivada a la pendiente de la recta \(y = 8x + 2\), que es 8.
Dada la función \( f(x) = \frac{8x + 3}{5x + 2} \):
1. Calculamos la derivada de \(f(x)\) utilizando la regla del cociente:
\[
f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \quad \text{donde} \quad u(x) = 8x + 3 \quad \text{y} \quad v(x) = 5x + 2
\]
La regla del cociente es:
\[
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}
\]
2. Calculamos las derivadas \(u'(x)\) y \(v'(x)\):
\[
u'(x) = 8 \quad \text{y} \quad v'(x) = 5
\]
3. Sustituimos \(u(x)\), \(v(x)\), \(u'(x)\) y \(v'(x)\) en la fórmula de la regla del cociente:
\[
f'(x) = \frac{(8)(5x + 2) - (8x + 3)(5)}{(5x + 2)^2}
\]
4. Simplificamos el numerador:
\[
f'(x) = \frac{40x + 16 - (40x + 15)}{(5x + 2)^2} = \frac{40x + 16 - 40x - 15}{(5x + 2)^2} = \frac{1}{(5x + 2)^2}
\]
5. Igualamos la derivada \(f'(x)\) a la pendiente de la recta \(y = 8x + 2\):
\[
\frac{1}{(5x + 2)^2} = 8
\]
6. Resolvemos para \(x\):
\[
(5x + 2)^2 = \frac{1}{8}
\]
Tomamos la raíz cuadrada en ambos lados:
\[
5x + 2 = \pm \sqrt{\frac{1}{8}} = \pm \frac{1}{2\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{4}
\]
Entonces, tenemos dos ecuaciones:
\[
5x + 2 = \frac{\sqrt{2}}{4} \quad \text{y} \quad 5x + 2 = -\frac{\sqrt{2}}{4}
\]
Resolvemos cada una por separado:
\[
5x + 2 = \frac{\sqrt{2}}{4} \implies 5x = \frac{\sqrt{2}}{4} - 2 \implies 5x = \frac{\sqrt{2} - 8}{4} \implies x = \frac{\sqrt{2} - 8}{20}
\]
\[
5x + 2 = -\frac{\sqrt{2}}{4} \implies 5x = -\frac{\sqrt{2}}{4} - 2 \implies 5x = -\frac{\sqrt{2} + 8}{4} \implies x = -\frac{\sqrt{2} + 8}{20}
\]
Aproximamos las soluciones a tres decimales:
\[
x_1 = \frac{\sqrt{2} - 8}{20} \approx \frac{1.414 - 8}{20} \approx \frac{-6.586}{20} \approx -0.329
\]
\[
x_2 = -\frac{\sqrt{2} + 8}{20} \approx -\frac{1.414 + 8}{20} \approx -\frac{9.414}{20} \approx -0.471
\]
Entonces, las soluciones ordenadas de mayor a menor son:
\[
x_1 \approx -0.329
\]
\[
x_2 \approx -0.471
\]