Respuesta:
Claro, puedo ayudarte con eso. El problema planteado se refiere a dos autos (a y b) que parten al mismo tiempo con rumbos distintos, formando un ángulo de **98°**. Después de **4 horas**, el auto "a" se encuentra a **33 km** de distancia del punto de partida y a **72 km** de distancia del auto "b". La pregunta es: ¿qué distancia recorrió el auto "b"?
Para resolver esto, podemos usar la **ley de cosenos**. Primero, definamos las siguientes variables:
- \(d_a\): Distancia recorrida por el auto "a".
- \(d_b\): Distancia recorrida por el auto "b".
- \(d_{ab}\): Distancia entre los autos "a" y "b".
La ley de cosenos establece:
\[ d_{ab}^2 = d_a^2 + d_b^2 - 2d_a d_b \cos(98°) \]
Dado que \(d_a = 33\) km y \(d_{ab} = 72\) km, podemos resolver para \(d_b\):
\[ 72^2 = 33^2 + d_b^2 - 2 \cdot 33 \cdot d_b \cos(98°) \]
Simplificando:
\[ 5184 = 1089 + d_b^2 - 66d_b \cos(98°) \]
Restando \(1089\) de ambos lados:
\[ 4095 = d_b^2 - 66d_b \cos(98°) \]
Multiplicando ambos lados por \(1/\cos(98°)\):
\[ d_b^2 - 66d_b = 4095 \cdot \frac{1}{\cos(98°)} \]
Resolviendo para \(d_b\):
\[ d_b^2 - 66d_b - 4095 \cdot \frac{1}{\cos(98°)} = 0 \]
Usando la fórmula cuadrática:
\[ d_b = \frac{66 + \sqrt{66^2 + 4 \cdot 4095 \cdot \frac{1}{\cos(98°)}}}{2} \]
Calculando el valor numérico:
\[ d_b \approx 66.85 \, \text{km} \]
Por lo tanto, el auto "b" recorrió aproximadamente **66.85 km**. ¡Espero que esta respuesta te ayude!
