Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura del faro -donde se encuentra el observador en lo alto del mismo avistando -a cierta distancia- a un barco en el océano, el lado AC (b) que representa la distancia horizontal desde la base del faro hasta el punto donde se encuentra el barco -ubicado en A- y el lado AB (c) que es la línea visual desde los ojos del observador -ubicado en lo alto del faro- hasta el punto donde se encuentra el barco, el cual es visto con un ángulo de depresión de 20°
Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 20° al punto A para facilitar la situación
Por ello se ha trazado una proyección horizontal
Conocemos la altura del faro -donde se encuentra el observador- y de un ángulo de depresión de 20°
Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:
Como sabemos el valor del cateto opuesto al ángulo dado -que es la altura del faro- donde en lo alto del mismo se sitúa el observador-, y conocemos un ángulo de depresión de 20° y debemos hallar a qué distancia del faro se encuentra el barco en el océano, -la cual es el cateto adyacente al ángulo dado del triángulo rectángulo determinaremos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α
Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α [tex]\bold{\alpha =20^o}[/tex]
Planteamos
[tex]\boxed{\bold { tan(20^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { tan(20^o) = \frac{ altura \ del \ faro }{ distancia \ al \ barco } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { distancia \ al \ barco = \frac{ altura \ del \ faro }{ tan(20^o) } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { distancia \ al \ barco = \frac{ 90 \ m }{ tan(20^o) } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { distancia \ al \ barco = \frac{90 \ m }{ 0.363970234266 } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { distancia \ al \ barco \approx 247.272 \ m } }[/tex]
[tex]\textsf{Redondeando }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold { distancia \ al \ barco \approx 247.27 \ metros } }[/tex]
Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión del problema propuesto, donde se comprueba el resultado obtenido
