Respuesta:
Veamos cada afirmación una por una para determinar si son verdaderas o falsas y justificarlas adecuadamente:
a. log�log�=log��−log��logSlogR=logaR−logaS
• Falsa. La afirmación log�log�=log��−log��logSlogR=logaR−logaS no es una identidad válida en el álgebra de logaritmos. La relación correcta es que log�(��)=log��−log��loga(SR)=logaR−logaS.
b. log���=log��log��logaSR=logaSlogaR
• Falsa. La expresión log���logaSR se simplifica como log��−log��logaR−logaS, no log��log��logaSlogaR.
c. log2�=log�2+log��log2m=loga2+logam
• Verdadera. Usando la propiedad de logaritmos, log�(��)=log��+log��loga(xy)=logax+logay, podemos decir que log�(2�)=log�2+log��loga(2m)=loga2+logam.
d. log�(�+�)=log�+log��loga(M+N)=logM+logaN
• Falsa. No hay una propiedad de logaritmos que permita separar la suma dentro del logaritmo de esta manera. La suma de logaritmos solo se puede aplicar al producto: log�(��)=log��+log��loga(MN)=logaM+logaN.
e. log�3=3log��logz3=3logaz
• Falsa. La afirmación log�3logz3 en base �a debería ser log�(�3)=3log��loga(z3)=3logaz. Sin embargo, aquí la expresión no tiene base �a explícita.
f. log�54=14log�5loga45=41loga5
• Verdadera. Usando la propiedad de logaritmos para raíces, log�(��)=�log��loga(xk)=klogax, tenemos log�54=log�(51/4)=14log�5loga45=loga(51/4)=41loga5.
g. 3log(�2−16)−13log(�+4)=log(�−4)33log(x2−16)−31log(x+4)=log(x−4)3
• Verdadera. Simplificando:
3log(�2−16)−13log(�+4)3log(x2−16)−31log(x+4)
usando propiedades de logaritmos, tenemos:
3log(�2−16)−13log(�+4)=log(�2−16)3−log(�+4)1/33log(x2−16)−31log(x+4)=log(x2−16)3−log(x+4)1/3
=log((�2−16)3(�+4)1/3)=log((x+4)1/3(x2−16)3)
Como �2−16=(�−4)(�+4)x2−16=(x−4)(x+4), sustituyendo:
=log(((�−4)(�+4))3(�+4)1/3)=log((x+4)1/3((x−4)(x+4))3)
Explicación paso a paso: Espero que mi respuesta te sirva de mucha ayuda.
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