Respuesta:
Para determinar el conjunto solución de la desigualdad dada, podemos seguir estos pasos:
1. **Simplificar la desigualdad:**
Primero expandimos los términos que están al cuadrado:
\((2x-1)^2 + 4x^2(x + 1) \geq (x-2)^2\)
\(4x^2 - 4x + 1 + 4x^3 + 4x^2 \geq x^2 - 4x + 4\)
Luego combinamos términos semejantes:
\(4x^3 + 8x^2 - 4x + 1 \geq x^2 - 4x + 4\)
Finalmente, simplificamos la desigualdad:
\(4x^3 + 7x^2 + 3 \geq x^2 + 4\)
2. **Resolver la desigualdad:**
Restamos \(x^2\) y \(4\) de ambos lados de la desigualdad:
\(4x^3 + 6x^2 - x^2 + 3 - 4 \geq 0\)
Esto nos da la desigualdad:
\(4x^3 + 5x^2 - 1 \geq 0\)
Ahora, para encontrar el conjunto solución, necesitamos factorizar el polinomio y determinar los signos en intervalos críticos.
3. **Encontrar los intervalos críticos:**
Buscamos los valores de \(x\) para los cuales \(4x^3 + 5x^2 - 1 = 0\). Estos son los puntos donde el polinomio cambia de signo.
Dado que este polinomio no se factoriza fácilmente, podemos usar métodos numéricos o gráficos para encontrar los intervalos críticos.
Una vez que tenemos los intervalos críticos, podemos determinar el signo del polinomio en cada intervalo y así encontrar el conjunto solución de la desigualdad.
