Respuesta:
En matemáticas y física, el vector tangente es aquel que es paralelo (o tangente) a una curva o superficie en un punto dado. Para encontrar el vector tangente a una curva descrita por la función vectorial (r(t) = x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k}), sigue estos pasos:
Determina la derivada (r’(t)) de la función vectorial.
Calcula la magnitud del vector (r’(t)).
Divide el vector (r’(t)) por su magnitud para obtener el vector tangente (T(t)):
[ T(t) = \frac{{r’(t)}}{{| r’(t) |}} ]
Donde (r’(t) \neq 0).
Por ejemplo:
Para la curva (r(t) = 3\cos(t) \mathbf{i} + 3\sin(t) \mathbf{j}), tenemos: [ r’(t) = -3\sin(t) \mathbf{i} + 3\cos(t) \mathbf{j} ] [ | r’(t) | = 3 ] Por lo tanto, el vector tangente es: [ T(t) = -\sin(t) \mathbf{i} + \cos(t) \mathbf{j} ]
Para la curva (r(t) = t \mathbf{i} + \frac{1}{9}t^3 \mathbf{j}), tenemos: [ r’(t) = \mathbf{i} + \frac{1}{3}t^2 \mathbf{j} ] [ | r’(t) | = \sqrt{1 + \frac{1}{9}t^4} ] Cuando (t = 3), el vector tangente es: [ T(t) = \frac{\mathbf{i} + \frac{1}{3}(3)^2 \mathbf{j}}{\sqrt{1 + 81}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \mathbf{i} + \frac{3}{\sqrt{10}} \mathbf{j} ]
Recuerda que el vector tangente es paralelo a la pendiente de la línea tangente en el punto dado.
