Vamos a resolver ambos problemas:
Problema 21: Dado el polinomio (P(x) = (ax+ b)(x+2) - 3 (x^2 - c)) y sabiendo que (P(x) = 0), encontraremos los valores de (a + b + c).
Expresamos (P(x)) como una ecuación igual a cero: [P(x) = (ax + b)(x+2) - 3 (x^2 - c) = 0]
Expandimos los productos: [P(x) = (ax^2 + 2ax + bx + 2b) - (3x^2 - 3c) = 0]
Agrupamos términos semejantes: [P(x) = (a - 3)x^2 + (2a + b)x + (2b + 3c) = 0]
Igualamos cada coeficiente a cero: [a - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 3] [2a + b = 0 \quad \Rightarrow \quad b = -6] [2b + 3c = 0 \quad \Rightarrow \quad c = 4]
Calculamos (a + b + c): [a + b + c = 3 + (-6) + 4 = 1]
Por lo tanto, (a + b + c = 1).
Problema 22: Dada la identidad: [Ax(x - 1) + Bx(x - 2) + C(x - 1)(x - 2) = 5x^2 + x - 4]
Expandimos los productos en el lado izquierdo: [Ax^2 - Ax + Bx^2 - 2Bx + C(x^2 - 3x + 2) = 5x^2 + x - 4]
Agrupamos términos semejantes: [(A + B + C)x^2 + (-A - 2B - 3C)x + 2C = 5x^2 + x - 4]
Igualamos los coeficientes correspondientes: [A + B + C = 5] [-A - 2B - 3C = 1] [2C = -4 \quad \Rightarrow \quad C = -2]
Sustituimos el valor de (C) en la primera ecuación: [A + B - 2 = 5 \quad \Rightarrow \quad A + B = 7]
Resolvemos el sistema de ecuaciones: [A + B = 7] [-A - 2B = 1] Sumando ambas ecuaciones, obtenemos: [B = 8] Luego, sustituimos (B) en la primera ecuación: [A + 8 = 7 \quad \Rightarrow \quad A = -1]
Por lo tanto, los valores son: [A = -1, \quad B = 8, \quad C = -2].
